Question

已知△OBC的頂點O（0，0），B（3，0），C（2，4）．
（1）求△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐標；
（2）證明G、F、H三點共線．

Answer 1

分析：（1）三角形的重心是中線的交點，再根據(jù)題意分別得到三角形任意兩條邊的中線，然后聯(lián)立直線的方程求出三角形的重心．三角形的外心是垂直平分線的交點，再根據(jù)題意分別求出OB邊上與BC邊上的垂直平分線的方程，然后聯(lián)立兩條直線的方程即可得到答案，三角形的垂心是高線的交點，再求出OB與BC邊上高線的方程，然后聯(lián)立兩條直線的方程即可得到答案．
（2）由（1）可得kGF=-

5

2

，kHF=-

5

2

，即k_GF=k_HF，進而得到三點共線．

解答：解：（1）由題意可得：△OBC的頂點O（0，0），B（3，0），C（2，4），
因為重心是中線的交點，
所以根據(jù)題意得到OB邊上的中線方程為：y=8x-12，BC邊上的中線為：4x-5y=0，
聯(lián)立兩條直線的方程可得：x=

5

3

，y=

4

3

，即G(

5

3

，

4

3

)；
因為外心是垂直平分線的交點，
所以根據(jù)題意可得：OB邊上垂直平分線的方程為：x=

3

2

，BC邊上垂直平分線的方程為：2x-8y+11=0，
聯(lián)立兩條直線的方程可得：x=

3

2

，y=

7

4

，即F（

3

2

，

7

4

）；
因為垂心是高線的交點，
所以OB邊上高線的方程為：x=2，BC邊上高線的方程為：x-4y=0，
聯(lián)立兩條直線的方程可得：x=2，y=

1

2

，即H（2，

1

2

）．
（2）由（1）可得：G(

5

3

，

4

3

)，F(xiàn)（

3

2

，

7

4

），H（2，

1

2

），
所以kGF=-

5

2

，kHF=-

5

2

，即k_GF=k_HF，
所以G、F、H三點共線．

點評：本題主要考查三角形的五心的定義與直線的交點問題，以及證明三點共線的方法，方法有：斜率相等，向量共線，由兩點寫出直線方程第三點的坐標符合此直線方程，兩點之間的距離公式等方法．