Question

把所有正整數(shù)按上小下大，左小右大的原則排成如圖所示的數(shù)表，其中第i行共有2^i-1個正整數(shù)．設(shè)a_ij（i、j∈N^*）表示位于這個數(shù)表中從上往下數(shù)第i行，從左往右數(shù)第j個數(shù)．
（Ⅰ）若i=6，j=8，求a_ij的值；
（Ⅱ）記A_n=a₁₁+a₂₁+a₃₁+…+a_n1（n∈N*），試比較A_n與n²-1的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）明確數(shù)表中前i-1行共有1+2+2²+…+2^i-2=2^i-1-1個數(shù)，則第i行的第一個數(shù)是2^i-1，于是可得a_ij=2^i-1+j-1，繼而可得a₆₈的值；
（Ⅱ）由a_i1=2^i-1，可知A_n=1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1，A_n-（n²-1）=2ⁿ-n²，檢驗n=1，2，3，4，5，可猜想當(dāng)n≥5時，A_n＞n²-1，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答： 解：（Ⅰ）因為數(shù)表中前i-1行共有1+2+2²+…+2^i-2=2^i-1-1個數(shù)，則第i行的第一個數(shù)是2^i-1，所以a_ij=2^i-1+j-1（2分）
所以，a₆₈=2^6-1+7=39（5分）
（Ⅱ）因為a_i1=2^i-1，所以A_n=1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1，
所以A_n-（n²-1）=2ⁿ-n²，（7分）
檢驗知，當(dāng)n=1時，2ⁿ=2＞n²=1，
當(dāng)n=2時，2ⁿ=4=n²=4，
當(dāng)n=3時，2ⁿ=8＜n²=9，
當(dāng)n=4時，2ⁿ=16=n²=16，
當(dāng)n=5時，2ⁿ=32＞n²=25，即A_n＞n²-1（8分）
猜想：當(dāng)n≥5時，A_n＞n²-1（9分）
證明：①當(dāng)n=5時，2⁵=32＞n²=25，所以A_n＞n²-1成立．（10分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥5）時，不等式成立，即2^k＞k²，則2^k+1=2×2^k＞2k²．
因為2k²-（k+1）²=k²-2k-1=k（k-2）-1，
而k≥5，故k（k-2）-1＞0，所以2^k+1＞（k+1）²，即當(dāng)n=k+1（k≥5）時，猜想也正確，
由①②得當(dāng)n≥5時，2ⁿ＞n²成立．
綜上分析，當(dāng)n≥5時，A_n＞n²-1（13分）

點評：本題考查歸納推理，著重考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，突出考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查分析、運算、推理的能力，屬于難題．