Question

6．已知頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線過點（1，2）
（Ⅰ）求拋物線的標準方程；
（Ⅱ）直線y=x-4與拋物線相交于AB兩點，求證：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設拋物線標準方程為y²=2px，將（1，2）代入即可求得p的值，即可求得拋物線的標準方程；
（Ⅱ）將直線y=x-4代入拋物線方程，求得x₁+x₂，x₁•x₂，代入直線方程求得y₁•y₂，由${k_{OA}}•{k_{OB}}=\frac{{y{\;}_1•y{\;}_2}}{{{x_1}•{x_2}}}=\frac{-16}{16}=-1$，即可OA⊥OB．

解答 解：（Ⅰ）設拋物線標準方程為y²=2px…（2分）
∵拋物線過點（1，2），
∴4=2p，解得：p=2  …（4分）
∴y²=4x…（5分）
（Ⅱ）證明：由題意可知直線AB斜率是1，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
，$由\left\{\begin{array}{l}y=x-4\\{y^2}=4x\end{array}\right.消去y得{x^2}-12x+16=0$，
∴由韋達定理可知：x₁+x₂=12，x₁•x₂=16…（8分）
∴y₁•y₂=（x₁-4）（x₂-4）=x₁•x₂-4（x₁+x₂）+16=16-4×12+16=-16…（10分）
∴${k_{OA}}•{k_{OB}}=\frac{{y{\;}_1•y{\;}_2}}{{{x_1}•{x_2}}}=\frac{-16}{16}=-1$，
∴OA⊥OB …（12分）

點評 本題考查拋物線的標準方程，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理及直線垂直的充要條件，考查計算能力，屬于中檔題．