已知橢圓x2＋＝1的左、右兩個頂點分別為A，B.雙曲線C的方程為x2－＝1. 設點P在第一象限且在雙曲線C上，直線AP與橢圓相交于另一點T.

(Ⅰ)設P, T兩點的橫坐標分別為x1，x2，證明x1· x2＝1；

(Ⅱ)設△TAB與△POB(其中O為坐標原點)的面積分別為S1與S2 ，且·≤15，求S－S的取值范圍．

【解析】(Ⅰ)設點P，T，

直線AP的斜率為k(k>0)，則直線AP的方程為y＝k(x＋1)，

聯(lián)立方程組，整理得(4＋k2)x2＋2k2x＋k2－4＝0，

解得x＝－1或x＝，故x2＝.

同理可得x1＝.所以x1·x2＝1.

(Ⅱ)設點P(x1，y1)，T(x2，y2)，

則＝(－1－x1，－y1)，＝(1－x1，－y1)．

因為·≤15，所以(－1－x1)(1－x1)＋y≤15，

即x＋y≤16.

因為點P在雙曲線上，則x－＝1，

所以x＋4x－4≤16，即x≤4.

因為點P是雙曲線在第一象限內的一點，則1<x1≤2.

因為S1＝＝，S2＝＝，

所以S－S＝y－y＝(4－4x)－(x－1)＝5－x－4x.

由(Ⅰ)知，x1· x2＝1，即x2＝.

設t＝x，則1<t≤4，

S－S＝5－t－.

設f(t)＝5－t－，則f′(t)＝－1＋＝，

當1<t<2時，f′(t)>0，當2<t≤4時，f′(t)<0，

所以函數(shù)f(t)在(1，2)上單調遞增，在上單調遞減．

因為f(2)＝1，f(1)＝f(4)＝0，

所以當t＝4，即x1＝2時，(S－S)min＝f(4)＝0；

當t＝2，即x1＝時，(S－S)max＝f(2)＝1，

所以S－S的取值范圍為.

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(1)求曲線C的方程；

(2)設點P、T的橫坐標分別為x1，x2，證明：x1·x2＝1；

(3)設△TAB與△POB(其中O為坐標原點)的面積分別為S1與S2，且，求S－S的取值范圍．

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