已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+
1
2
，且f（
1
2
）=0，當(dāng)x＞
1
2
時(shí)，f（x）＞0．給出以下結(jié)論：①f（0）=-
1
2
；②f（-1）=-
3
2
；③f（x）為R上減函數(shù)；④f（x）+
1
2
為奇函數(shù)；⑤f（x）+1為偶函數(shù)．其中正確結(jié)論的序號(hào)是
①②④
①②④
．
分析：由題意采用賦值法，可解決①②，在此基礎(chǔ)上繼續(xù)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證可得答案．
解答：解：由題意和xy的任意性，取x=y=0代入可得f（0）=f（0）+f（0）+
1
2
，即f（0）=-
1
2
，故①正確；
取x=
1
2
，y=-
1
2
代入可得f（0）=f（
1
2
）+f（-
1
2
）+
1
2
，即-
1
2
=0+f（-
1
2
）+
1
2
，解得f（-
1
2
）=-1，
再令x=y=-
1
2
代入可得f（-1）=f（-
1
2
）+f（-
1
2
）+
1
2
=-2+
1
2
=-
3
2
，故②正確；
令y=-x代入可得-
1
2
=f（0）=f（x）+f（-x）+
1
2
，即f（x）+
1
2
+f（-x）+
1
2
=0，故f（x）+
1
2
為奇函數(shù)，④正確；
取y=-1代入可得f（x-1）=f（x）+f（-1）+
1
2
，即f（x-1）-f（x）=f（-1）+
1
2
=-1＜0，即f（x-1）＜f（x），
故③f（x）為R上減函數(shù)，錯(cuò)誤；
⑤錯(cuò)誤，因?yàn)閒（x）+1=f（x）+
1
2
+
1
2
，由③可知g（x）=f（x）+
1
2
為奇函數(shù)，故g（-x）+
1
2
-g（x）-
1
2
=-2g（x）不恒為0，
故函數(shù)f（x）+1不是偶函數(shù)
故答案為：①②④
點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷，熟記函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P滿足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求證：y1+y2為定值；
（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
（Ⅲ）已知an=
1
6
，                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Tn＜m（Sn+1+1）對(duì)一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法正確的有（　�。﹤�(gè)．
①已知函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，若f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增，則對(duì)任意的?x∈（a，b），有f′（x）＞0．
②函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)P處的切線存在，則函數(shù)f（x）在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)存在；反之若函數(shù)f（x）在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)P處的切線存在．
③因?yàn)?＞2，所以3+i＞2+i，其中i為虛數(shù)單位．
④定積分定義可以分為：分割、近似代替、求和、取極限四步，對(duì)求和In=
n
i=1
f(ξi)△x中ξi的選取是任意的，且In僅于n有關(guān)．
⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)p，q的值分別是12，26．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（2x-
π
6
），g（x）=sin（2x+
π
3
），直線y=m與兩個(gè)相鄰函數(shù)的交點(diǎn)為A，B，若m變化時(shí)，AB的長(zhǎng)度是一個(gè)定值，則AB的值是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=x3-x，其圖象記為曲線C．
（i）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（ii）證明：若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)x1，曲線C與其在點(diǎn)P1（x1，f（x1））處的切線交于另一點(diǎn)P2（x2，f（x2）），曲線C與其在點(diǎn)P2（x2，f（x2））處的切線交于另一點(diǎn)P3（x3，f（x3）），線段P1P2，P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S1，S2．則
S1S2
為定值；
（Ⅱ）對(duì)于一般的三次函數(shù)g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），請(qǐng)給出類似于（Ⅰ）（ii）的正確命題，并予以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-ax+b存在極值點(diǎn)．
（1）求a的取值范圍；
（2）過曲線y=f（x）外的點(diǎn)P（1，0）作曲線y=f（x）的切線，所作切線恰有兩條，切點(diǎn)分別為A、B．
（�。┳C明：a=b；
（ⅱ）請(qǐng)問△PAB的面積是否為定值？若是，求此定值；若不是求出面積的取值范圍．

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同步練習(xí)冊(cè)答案