Question

（本小題滿分13分） 已知函數(shù)，其中.

（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間內恰有兩個零點，求的取值范圍；

（3）當時，設函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，記，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.

Answer 1

（1）函數(shù)單調增區(qū)間為，；減區(qū)間為；（2）；（3）函數(shù)在上的最小值為.

【解析】

試題分析：（1）先求出函數(shù)的導函數(shù)，由，得出函數(shù)的極值點，進而列出表格，寫出函數(shù)的單調增、減區(qū)間即可；（2）結合（1）中所求，得出判斷：在內單調遞增，在內單調遞減，進而得出函數(shù)在內恰有兩個零點的條件，從中求解即可得出的取值范圍；（3）根據(jù)及（1）中的結果，作出判斷在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增，然后分、、三種情況進行確定函數(shù)的最大值與最小值，進而確定在各段的最小值，最后比較這三段的最小值，即可得出所求的最小值.

試題解析：（1） 1分

時，或

		0		0

函數(shù)單調增區(qū)間為，；減區(qū)間為 4分

（2）由（1）知在內單調遞增，在內單調遞減

所以函數(shù)在內恰有兩個零點當且僅當

解得，的取值范圍是 8分

（3），由（1）知：在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增

①當

②，在單調遞增，在單調遞減..最小值是與的較小者

，

，在遞減，最小值為

①②可以合并 11分

③，

最大值為與較大者，最小值為與較小者

在，上單調遞增

而

，，

綜上，函數(shù)在上的最小值為 13分.

考點：1.函數(shù)的導數(shù)與單調性；2.函數(shù)的最值與導數(shù)；3.函數(shù)與方程的思想；4.分類討論的思想.

考點分析： 考點1：導數(shù)及其應用 試題屬性

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