【題目】如圖,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形,且∠DAB=60°,△PAB是邊長(zhǎng)為a的正三角形,且平面PAB⊥平面ABCD,已知點(diǎn)M是PD的中點(diǎn).

(1)證明:PB∥平面AMC;

(2)求直線BD與平面AMC所成角的正弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】試題分析:(1)連接BDAC于點(diǎn)O,由三角形中位線可得OMPB. 再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論(2)先根據(jù)空間直角坐標(biāo)系,再設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)方程組解得平面法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角,最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系得結(jié)果.

試題解析:(1)證明:連接BDAC于點(diǎn)O,連接OM,因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為菱形,OBOD,又MPD的中點(diǎn),所以OMPB.

PB平面AMC,OM平面AMC,所以PB∥平面ACM.

(2)取AB的中點(diǎn)N,連接PN,ND,則∠AND=90°,

分別以NB,ND,NPx軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Nxyz,

B,C,

A,D,P,M,

,.

設(shè)平面AMC的法向量為n=(x,y,z),

y,則x=-1,

z=-,即n.又,設(shè)直線BDn所成的角為θ,則cosθ,故直線BD與平面AMC所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)集,)具有性質(zhì):對(duì)任意、),兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于集合,現(xiàn)給出以下四個(gè)命題:①數(shù)集具有性質(zhì);②數(shù)集具有性質(zhì);③若數(shù)集具有性質(zhì),則;④若數(shù)集)具有性質(zhì),則;其中真命題有________(填寫序號(hào))

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某零售公司從1月至6月的銷售量與利潤(rùn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:

月份

1

2

3

4

5

6

銷售量/萬件

6

8

12

13

11

10

利潤(rùn)/萬元

12

16

26

29

25

22

(1)根據(jù)2月至5月4個(gè)月的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),求出關(guān)于的回歸直線方程.(的結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示);

(2)若由回歸直線方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差均不超過1萬元,則認(rèn)為得到的回歸直線方程是有效的.試用1月和6月的數(shù)據(jù)估計(jì)所得的回歸直線方程是否有效?

參考公式:.

參考數(shù)據(jù):,.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某漁業(yè)公司今年初用98萬元購(gòu)進(jìn)一艘漁船進(jìn)行捕撈,第一年需要各種費(fèi)用12萬元,從第二年開始包括維修費(fèi)在內(nèi),每年所需費(fèi)用均比上一年增加4萬元,該船每年捕撈的總收入為50萬元.

(1)該船捕撈第幾年開始盈利?

(2)若該船捕撈年后,年平均盈利達(dá)到最大值,該漁業(yè)公司以24萬元的價(jià)格將捕撈船賣出;求并求總的盈利值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案,太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化,相互統(tǒng)一的和諧美.定義:能夠?qū)A的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩部分的函數(shù)稱為圓的一個(gè)“太極函數(shù)”.下列有關(guān)說法中正確的個(gè)數(shù)是( )個(gè)

①對(duì)圓的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中,一定不能為偶函數(shù);

②函數(shù)是圓的一個(gè)太極函數(shù);

③存在圓,使得是圓的太極函數(shù);

④直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)一定是圓的太極函數(shù).

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在三棱錐PABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.點(diǎn)DE,N分別為棱PAPC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PAAC=4,AB=2.

(1)求證:MN∥平面BDE;

(2)求二面角CEMN的正弦值;

(3)已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為,求線段AH的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知是定義在上的奇函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí), ,若當(dāng)時(shí), 恒成立,求的最小值;

(2)若的圖像關(guān)于對(duì)稱,且時(shí), ,求當(dāng)時(shí), 的解析式;

(3)當(dāng)時(shí), .若對(duì)任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列幾個(gè)命題:①若方程的兩個(gè)根異號(hào),則實(shí)數(shù);②函數(shù)是偶函數(shù),但不是奇函數(shù);③函數(shù) 上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是;④ 方程 的根滿足,則m滿足的范圍,其中不正確的是(

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)二次函數(shù)滿足下列條件:當(dāng)時(shí),的最小值為0,且成立;當(dāng)時(shí),恒成立.

1)求的解析式;

2)若對(duì),不等式恒成立、求實(shí)數(shù)的取值范圍;

3)求最大的實(shí)數(shù),使得存在實(shí)數(shù),只要當(dāng)時(shí),就有成立.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案