Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且cos2A+cos2B+2sinAsinB=2coc2C． （Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若△ABC為銳角三角形，且 ，求a﹣b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵cos2A+cos2B+2sinAsinB=2coc2C， ∴1﹣2sin2A+1﹣2sin2B+2sinAsinB=2（1﹣sin2C），
即sin2C=sin2A+sin2B﹣sinAsinB，
由正弦定理得：c2=a2+b2﹣ab，
∴ ，
且角C角為三角形的內(nèi)角，即 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由 得，a=2sinA，b=2sinB， ，
∵△ABC為銳角三角形， ，又∵ ，
∴A∈（ ， ），
∴A﹣ ∈（﹣ ， ），
∴ ，即a﹣b的取值范圍為（﹣1，1）
【解析】（Ⅰ）由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得c2=a2+b2﹣ab，利用余弦定理可求cosC，結(jié)合C角為三角形的內(nèi)角，可求C的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，利用正弦定理可求a=2sinA，b=2sinB，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求a﹣b=2sin（A﹣ ），可求范圍A﹣ ∈（﹣ ， ），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解a﹣b的范圍．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解正弦定理的定義(正弦定理:)，還要掌握余弦定理的定義(余弦定理:;;)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．