Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的離心率為 ，頂點A（a，0），B（0，b），中心O到直線AB的距離為 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C上一動點P滿足： ，其中M，N是橢圓C上的點，直線OM與ON的斜率之積為﹣ ，若Q（λ，μ）為一動點，E1（﹣ ，0），E2（ ，0）為兩定點，求|QE1|+|QE2|的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為直線AB的方程為ax+by﹣ab=0．所以 = ，

由已知得 = ，故可解得a=2，b= ；

所以橢圓的方程為

（2）解：設(shè)P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），

則由 得，x=λx1+2μx2，y=λy1+2μy2

因為點P，M，N在橢圓 上，

所以x12+2y12=4，x22+2y22=4，x2+2y2=4

故x2+2y2=λ2（x12+2y12）+4μ2（x22+2y22）+4λμ（x1x2+2y1y2）=4λ2+16μ2+4λμ（x1x2+2y1y2）=4

設(shè)kQM，kQN分別為直線OM，ON的斜率，由題意知，kQMkQN= =﹣ ，

因此x1x2+2y1y2=0，所以λ2+4μ2=1，

λ2+ =1，可知表達(dá)式是橢圓，a=1，b= ，c= ，

而E1，E2恰為橢圓的左右焦點，

所以由橢圓的定義，|QF1|+|QF2|=2

【解析】（1）利用離心率為 ，中心O到直線AB的距離為 ．列出方程求出a，b，即可求解橢圓方程．（2）設(shè)P（x，y），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），利用 得，結(jié)合點P，M，N在橢圓上，通過kQMkQN= =﹣ ，得到λ2+4μ2=1，由橢圓的定義，推出|QF1|+|QF2|=2即可．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識點，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．