已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+
3
sinωxsin(ωx+
π
2
)+1
(ω>0)的最小正周期為π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移
π
6
個(gè)單位后,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅲ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,
3
]上的最值.
分析:由誘導(dǎo)公式、二倍角公式及輔助角公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)可得,f(x)=sin2ωx+
3
sinωxsin(ωx+
π
2
)+1
=
3
2
+sin(2ωx-
π
6
)

(I)由周期公式可得,T=
可求ω
(II)由題意可得,g(x)=f(x+
π
6
)═
3
2
+sin(2x+
π
6
)
,要求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間,只要令
1
2
π+2kπ≤2x+
π
6
2
+2kπ
,k∈Z可求
(III)由x∈[0,
3
]可得,-
π
6
≤2x-
π
6
6
,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的最大值及最小值
解答:解:f(x)=sin2ωx+
3
sinωxsin(ωx+
π
2
)+1

=
1-cos2ωx
2
3
sinωxcosωx+1
=
3
2
-
1
2
cos2ωx+
3
2
sin2ωx

=
3
2
+sin(2ωx-
π
6
)

(I)由周期公式可得,T=

∴ω=1,f(x)=
3
2
+sin(2x-
π
6
)

(II)由題意可得,g(x)=f(x+
π
6
)=
3
2
+
sin[2(x+
π
6
)-
π
6
]
=
3
2
+sin(2x+
π
6
)

1
2
π+2kπ≤2x+
π
6
2
+2kπ
,k∈Z
可得,
π
6
+kπ≤x≤
3
+kπ
k∈Z
函數(shù)g(x)的單獨(dú)遞減區(qū)間為[
π
6
+kπ,
3
+kπ
],k∈Z
(III)由x∈[0,
3
]可得,-
π
6
≤2x-
π
6
6

-
1
2
≤sin(2x-
π
6
)≤1

1≤f(x)≤
5
2

f(x) max=
5
2
,f(x)min=1
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了三角函數(shù)的最一般的試題類型:由三角公式對(duì)所給的函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)為y=Asin(ωx+φ)的形式,然后再考查正弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),屬于三角函數(shù)的綜合應(yīng)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(附加題)
(Ⅰ)設(shè)非空集合S={x|m≤x≤l}滿足:當(dāng)x∈S時(shí)有x2∈S,給出下列四個(gè)結(jié)論:
①若m=2,則l=4
②若m=-
1
2
,則
1
4
≤l≤1

③若l=
1
2
,則-
2
2
≤m≤0
④若m=1,則S={1},
其中正確的結(jié)論為
②③④
②③④

(Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)
,其中a,b∈R.若對(duì)于任意的a∈[
1
2
,2]
,f(x)≤10在x∈[
1
4
,1]
上恒成立,則b的取值范圍為
(-∞,
7
4
]
(-∞,
7
4
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

將正奇數(shù)列{2n-1}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表:
記aij是這個(gè)數(shù)表的第i行第j列的數(shù).例如a43=17
(Ⅰ)  求該數(shù)表前5行所有數(shù)之和S;
(Ⅱ)2009這個(gè)數(shù)位于第幾行第幾列?
(Ⅲ)已知函數(shù)f(x)=
3x
3n
(其中x>0),設(shè)該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為bn
數(shù)列{f(bn)}的前n項(xiàng)和為Tn,求證Tn
2009
2010

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•開封二模)已知函數(shù)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(II)記△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c若f(A)=
3
2
,△ABC的面積S=
3
2
,a=
3
,求b+c的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•黑龍江一模)已知函數(shù)f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4

(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)已知△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,若f(A)=0,a=
3
,b=2
,求△ABC的面積S.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•黃山模擬)已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x),g(x)=
x2
1+x

(Ⅰ)分別求函數(shù)f(x)和g(x)的圖象在x=0處的切線方程;
(Ⅱ)證明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x

(Ⅲ)對(duì)一個(gè)實(shí)數(shù)集合M,若存在實(shí)數(shù)s,使得M中任何數(shù)都不超過s,則稱s是M的一個(gè)上界.已知e是無窮數(shù)列an=(1+
1
n
)n+a
所有項(xiàng)組成的集合的上界(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求實(shí)數(shù)a的最大值.

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