【題目】有一容積為的正方體容器,在棱、和面對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)各有一小孔、、,若此容器可以任意放置,則其可裝水的最大容積是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
分別討論水面過(guò)直線(xiàn)、、時(shí)從正方體截去的幾何體體積的最小值,即可得出此容器可裝水的最大容積.
當(dāng)水面過(guò)直線(xiàn)時(shí),如下圖所示,
水面截去正方體所得幾何體為三棱柱,
當(dāng)點(diǎn)在水面上方或水面上時(shí),容器中的水不會(huì)漏,且當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),截去的幾何體體積最小為;
當(dāng)水面過(guò)直線(xiàn)時(shí),如下圖所示,
水面截去正方體所得幾何體為三棱臺(tái),
當(dāng)點(diǎn)在水面上方或水面上時(shí),容器中的水不會(huì)漏,且當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)上時(shí),截去的幾何體為三棱柱,且體積最小為;
當(dāng)水面過(guò)直線(xiàn)時(shí),如下圖所示,
當(dāng)點(diǎn)在水面上方或水面上時(shí),容器中的水不會(huì)漏,此時(shí)水面截去正方體所得幾何體為,且直線(xiàn)過(guò)點(diǎn),易知梯形的面積為正方形面積的一半,此時(shí),幾何體的體積為.
當(dāng)與直線(xiàn)重合時(shí),如下圖所示,
此時(shí),點(diǎn)在水面上方,容器不會(huì)漏水,水面截去正方體所得幾何體為三棱錐,
該三棱錐的體積為.
綜上可知,水面截去截去正方體所得幾何體體積的最小值為.
因此,該容器可裝水的最大容積是.
故選:C.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于數(shù)列,定義, .
(1) 若,是否存在,使得?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2) 若, ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3) 令,求證:“為等差數(shù)列”的充要條件是“的前4項(xiàng)為等差數(shù)列,且為等差數(shù)列”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列,,數(shù)列是等比數(shù)列,且,,,數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求的前n項(xiàng)和;
(3)若對(duì)恒成立,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)是軸左側(cè)(不含軸)一點(diǎn),拋物線(xiàn)上存在不同的兩點(diǎn)、,滿(mǎn)足、的中點(diǎn)均在拋物線(xiàn)上.
(1)求拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離;
(2)設(shè)中點(diǎn)為,且,,證明:;
(3)若是曲線(xiàn)()上的動(dòng)點(diǎn),求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求證:對(duì)任意實(shí)數(shù),都有;
(2)若,是否存在整數(shù),使得在上,恒有成立?若存在,請(qǐng)求出的最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.()
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a,b,c.
(1)若,,且的面積為,求的值;
(2)若 ,試判斷△ABC的形狀.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線(xiàn)的方程為,過(guò)原點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)和曲線(xiàn)相交,另一個(gè)交點(diǎn)記為,過(guò)作斜率為的直線(xiàn)和曲線(xiàn)相交,另一個(gè)交點(diǎn)記為,過(guò)作斜率為的直線(xiàn)和曲線(xiàn)相交,另一個(gè)交點(diǎn)記為,……,如此下去,一般地,過(guò)作斜率為的直線(xiàn)和曲線(xiàn)相交,另一個(gè)交點(diǎn)記為,設(shè)點(diǎn).
(1)指出,并求與的關(guān)系式;
(2)求的通項(xiàng)公式,并指出點(diǎn)列,,……,,……向哪一點(diǎn)無(wú)限接近?說(shuō)明理由;
(3)令,數(shù)列的前項(xiàng)和為,設(shè),求所有可能的乘積的和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四棱錐中,側(cè)面底面,,是邊長(zhǎng)為2的正三角形底面是菱形,點(diǎn)為的中點(diǎn)
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值.
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