Question

如圖，橢圓E：的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，離心率e=，過F₁的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF₂的周長為8。

（1）求橢圓E的方程。
（2）設(shè)動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相較于點(diǎn)Q，試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵過F₁的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF₂的周長為8
∴4a=8，
∴a=2
∵e= ，
∴c=1
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓E的方程為 。
（2）由，消元可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0
∵動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P（x₀，y₀）
∴m≠0，△=0，
∴（8km）²-4×（4k²+3）×（4m²-12）=0
∴4k²-m²+3=0①
此時(shí)x₀==，y₀=，
即P（，）
由得Q（4，4k+m）
取k=0，m=，此時(shí)P（0，），Q（4，），
以PQ為直徑的圓為（x-2）²+（y-）²=4，交x軸于點(diǎn)M₁（1，0）或M₂（3，0）
取k=，m=2，此時(shí)P（1，），Q（4，0），
以PQ為直徑的圓為（x-）²+（y-）²=，交x軸于點(diǎn)M₃（1，0）或M₄（4，0）
故若滿足條件的點(diǎn)M存在，只能是M（1，0），
證明如下∵
∴
故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點(diǎn)M（1，0）。