Question

若不等式|x-2|+|x+3|≥a+

4

a

 對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題意知，|x-2|+|x+3|的最小值大于或等于a+

4

a

，得到5≥a+

4

a

，分a＜0和a＞0兩種情況來(lái)解．

解答：解：∵不等式|x-2|+|x+3|≥a+

4

a

 對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，∴|x-2|+|x+3|的最小值大于或等于a+

4

a

，
而|x-2|+|x+3|表示數(shù)軸上的x到-3和2的距離之和，最小值為 5，∴5≥a+

4

a

，
當(dāng)a＜0時(shí)，不等式顯然成立．當(dāng)a＞0時(shí)，有  （a-1）（a-4）≤0，∴1≤a≤4，
綜上，a＜0或1≤a≤4，
故答案為：{a|a＜0或1≤a≤4}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．