設(shè)數(shù)列{an}的n項和為Sn,若對任意∈N*,都有.Sn=3an-5n
(1)求數(shù)列{an}的首項;
(2)求證:數(shù)列{an+5}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)數(shù)列{bn}滿足bn=
9n+4an+5
,問是否存m在,使得bn<m恒成立?如果存在,求出m的值,如果不存在,說明理由.
分析:(1)根據(jù)Sn=3an-5n,令n=1,即可求數(shù)列的首項.
(2)根據(jù)Sn=3an-5n,再寫一式Sn-1=3an-1-5(n-1)n≥2,兩式相減,進而兩邊同加5,即可證得數(shù)列{an+5}是以
3
2
為公比的等比數(shù)列,從而可求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)根據(jù)數(shù)列的通項,可求其最大值,從而求出使得bn<m恒成立 m的值.
解答:解:(1)∵a1=3a1-5∴a1=
5
2
          …(3分)
(2)∵Sn=3an-5n∴Sn-1=3an-1-5(n-1)n≥2)
∴an=
3
2
an-1+
5
2
             …(5分),
∴an+5=
3
2
an-1+
15
2
=
3
2
(an-1+5)
an+5
an-1+5
=
3
2
(為常數(shù)) (n≥2)
∴數(shù)列{an+5}是以
3
2
為公比的等比數(shù)列         …(7分)
∴an=
15
2
•(
3
2
n-1-5                       …(10分)
(3)∵bn=
9n+4
an+5
∴bn=
9n+4
15
2
(
3
2
)
n-1
bn
bn-1
=
9n+4
15
2
(
3
2
)
n-1
9n-5
15
2
(
3
2
)
n-2
=
9n+4
3
2
(9n-5)
=
18n+8
27n-15
   …(12分)
18n+8
27n-15
-1=
18n+8-27n+15
27n-15
=
-9n+23
27n-15
    …(14分)
∴當(dāng)n≥3時,
bn
bn-1
<1;  n=2時,
bn
bn-1
>1
∴當(dāng)n=2時,bn有最大值b2=
264
135
∴(bnmax=
264
135
                         …(15分)
∴m>
264
135
=
88
45
                            …(16分)
點評:本題以數(shù)列為素材,考查等比數(shù)列,考查構(gòu)造法,考查恒成立問題,有一定的綜合性.
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