Question

函數(shù)f（x）=x-

λ

x

（λ為常數(shù)），若x=1是f（x）的一個零點．
（1）求λ的值；
（2）若g（x）=x-f（x），用單調(diào)性定義證明函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（3）若函數(shù)h（x）=

log2x (x＞0) λ•3x (x≤0)

，求h[h（

1

4

）]的值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)x=1是f（x）的一個零點，f（1）=0，求出λ的值；
（2）求出g（x）的解析式，用單調(diào)性的定義證明g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）λ=1時，求出函數(shù)h（x）的解析式，再計算h[h（

1

4

）]的值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x-

λ

x

（λ為常數(shù)），
且x=1是f（x）的一個零點，
∴f（1）=1-λ=0，
解得λ=1；…（4分）
（2）∵g（x）=x-f（x）=x-（x-

1

x

）=

1

x

，…（5分）
任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴g（x₁）-g（x₂）=

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1x2

，
又∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，
即g（x₁）＞g（x₂），
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；…（8分）
（3）∵λ=1時，函數(shù)h（x）=

log2x，x＞0 3x，x≤0

，…（9分）
∴h（

1

4

）=log₂

1

4

=-2；…（11分）
h[h（

1

4

）]=h[-2]=3^-2=

1

9

．…（13分）

點評：不同考查了函數(shù)的零點以及利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，求分段函數(shù)的函數(shù)值問題，是綜合性題目．