Question

如圖，在四棱錐P-ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=1，AD=3，∠ADC=45°．又已知PA⊥平面ABCD，PA=1．
求：
（1）異面直線PD與AC所成角的大�。�（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）
（2）四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

解：（1）連接AC，過點(diǎn)C作CF∥AB交AD于點(diǎn)F，因?yàn)椤螦DC=45°，所以FD=1，從而BC=AF=2，……（2分）
延長(zhǎng)BC至E，使得CE=AD=3，則AC∥DE，∴∠PDE（或其補(bǔ)角）是異面直線PD與AC所成角，且DE=AC=，AE=，PE=3，PD=．（5分）
在△PDE中，cos∠PDE=-．…（8分）
所以，異面直線PD與AC所成角的大小為arccos．…（9分）
（2）∵BC=2，AD=3，AB=1，
∴底面梯形面積為
∵PA⊥平面ABCD，PA=1．
∴四棱錐P-ABCD的體積為．…（6分）
分析：（1）利用平移法作出異面直線所成的角，進(jìn)而利用余弦定理可求線線角；
（2）四棱錐的體積為×底面積×高，求出底面梯形的面積即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線線角，考查棱錐的體積，解題的關(guān)鍵是正確作出線線角，屬于中檔題．