已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,Sn=2-(數(shù)學公式+1)an(n≥1).
(1)求證:數(shù)列{數(shù)學公式}是等比數(shù)列;
(2)設數(shù)列{2nan}的前n項和為Tn,An=數(shù)學公式.試比較An數(shù)學公式的大。

解:(1)由a1=S1=2-3a1得a1=
由Sn=2-(+1)an得Sn-1=2-(+1)an-1,
于是an=Sn-Sn-1=(+1)an-1-(+1)an,
整理得=×(n≥2),
所以數(shù)列{}是首項及公比均為的等比數(shù)列.
(2)由(Ⅰ)得=×=
于是2nan=n,Tn=1+2+3+…+n=,

An=2[(1-)+(-)+…+=2(1-)=

=,問題轉(zhuǎn)化為比較的大小,即的大。
設f(n)=,g(n)=
∵f(n+1)-f(n)=,當n≥3時,f(n+1)-f(n)>0,
∴當n≥3時f(n)單調(diào)遞增,
∴當n≥4時,f(n)≥f(4)=1,而g(n)<1,∴當n≥4時f(n)>g(n),
經(jīng)檢驗n=1,2,3時,仍有f(n)≥g(n),
因此,對任意正整數(shù)n,都有f(n)>g(n),
即An
分析:(1)由a1=S1=2-3a1得a1=,由Sn=2-(+1)an得Sn-1=2-(+1)an-1,由此能證明數(shù)列{}是等比數(shù)列.
(2)由=×=,知2nan=n,Tn=1+2+3+…+n=,,An=2[(1-)+(-)+…+=2(1-)=.又=,問題轉(zhuǎn)化為比較的大。
點評:本題考查數(shù)列的等比數(shù)列的證明方法和數(shù)列與不等式的綜合運用,解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
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