Question

四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，共有的取法數(shù)（　　）

A．141

B．144

C．150

D．210

Answer 1

分析：由題意知從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有C₁₀⁴種取法，減去不合題意的結(jié)果，4點(diǎn)共面的情況有三類，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面上；取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及該棱對(duì)棱的中點(diǎn)；由中位線構(gòu)成的平行四邊形，用所有的結(jié)果減去不合題意的結(jié)果，即得所求．

解答：解：從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有C₁₀⁴種取法，其中4點(diǎn)共面的情況有三類．
第一類，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面上，有4C₆⁴種；
第二類，取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及該棱對(duì)棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面，有6種；
第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形（其兩組對(duì)邊分別平行于四面體相對(duì)的兩條棱），
它的4頂點(diǎn)共面，有3種，以上三類情況不合要求應(yīng)減掉，
∴不同的取法共有C₁₀⁴-4C₆⁴-6-3=141種，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分類計(jì)數(shù)原理，考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，是一個(gè)排列組合同立體幾何結(jié)合的題目，解題時(shí)注意做到不重不漏，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．