Question

（1）四面體的一個頂點為A，從其他頂點和各棱中點中取3個點，使它們和點A在同一平面上，有多少種不同的取法？

（2）四面體的頂點和各棱中點共10個點，取其中4個不共面的點，有多少種不同的取法？

Answer 1

解：（1）如圖，含頂點A的四面體的3個面上，除點A外都有5個點，從中取出3個點必與點A共面，共有種取法，含頂點A的三條棱上各有3個點，它們與所對的棱的中點共面，共有3種取法.根據(jù)加法原理，與頂點A共面三點的取法有+3=33種.

（2）如上圖，從10個頂點中取4個點的取法有種，除去4點共面的取法種數(shù)須可得到結(jié)果，從四面體同一個面上的6個點中取出的4點必定共面，有=60種，四面體的每一棱上3點與相對棱中點共面，共有6種共面的情形，從6條棱的中點中取4個點時有3種共面的情形（對棱中點連線兩兩相交且互相平分），故4點不共面的取法為-（60+6+3）=141種.

點評:本題主要考查組合、立體幾何知識及分類討論的數(shù)學思想方法.注意:（1）用直接法；（2）用間接法，也是排除法.當直接法考慮比較難或分類復雜時，可考慮用間接法.