【答案】
分析:(1)根據(jù)視圖中所給的數(shù)據(jù)特證可以證明BC⊥面PAB,由線面垂直的性質(zhì)證出BC⊥PB,由此證得三角形為直角三角形
(2)由于三棱錐的四個面都是直角三角形,故把各個棱的長度求出,由三角形面積公式求出各面的面積相加既得;
(3)本題中出現(xiàn)了同一點出發(fā)的三個棱兩兩垂直的特征,故可以建立空間直角坐標系,設出E點的坐標,用參數(shù)表示出直線AE的方向向量,求出面PAB的法向量,由線面角公式建立起點E的坐標所滿足的方程,求出參數(shù)即可.
解答:![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/images0.png)
解:解法一:
(Ⅰ)由俯視圖可得:
面PAC⊥ABC,面PAB⊥面ABC
又面PAC∩面PAB=PA
故PA⊥面ABC
∵BC?面ABC,∴BC⊥PA
有俯視圖知BC⊥AB,∴BC⊥面PAB∵BP?面PAB,∴BC⊥PB
故△PBC是以B為直角頂點的直角三角形.
(Ⅱ)三角形PAC的面積為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/0.png)
∵俯視如圖是底邊長為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/1.png)
,斜邊上的高為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/2.png)
的等腰直角三角形
∴三角形PAB的面積為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/3.png)
,且PB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/4.png)
由(Ⅰ)知三角形PBC是直角三角形,
故其面積為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/5.png)
故三棱錐P-ABC的全面積為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/6.png)
(Ⅲ)在面ABC內(nèi)過A做AC的垂線AQ,
以A為原點,AC、AQ、AP所在直線分別為
x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,
如如圖所示則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/7.png)
設
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/8.png)
為面PAB的一個法向量
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/9.png)
取
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/10.png)
設
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/11.png)
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/12.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/13.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/14.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/15.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/16.png)
故當E為PC的中點時,AE與面PAB所成的為60°
解法二:
(Ⅰ)由正視圖和俯視圖可判斷PA⊥AC,且PA⊥AB∴PA⊥面ABC
在面ABC內(nèi)過A做AC的垂線AQ
以A為原點,AC、AQ、AP所在直線分別為
x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如如圖所示
則P
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/17.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/18.png)
∴BC⊥PB
故△PBC是以B為直角頂點的直角三角形.
(Ⅱ)同解法一.
(Ⅲ)設
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/19.png)
為面PAB的一個法向量
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/20.png)
取
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/21.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/22.png)
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/23.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/24.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/25.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/26.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/27.png)
故當E為PC的中點時,AE與面PAB所成的為60°.
點評:本題考點是由三視圖求幾何體的面積、體積,考查對三視圖的理解與應用,主要考查三視圖與實物圖之間的關系,用三視圖中的數(shù)據(jù)還原出實物圖的數(shù)據(jù),再根據(jù)相關的公式求表面積與體積,本題求的是四棱錐的體積,其公式為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125050287665868/SYS201310251250502876658016_DA/28.png)
×底面積×高.三視圖的投影規(guī)則是:“主視、俯視 長對正;主視、左視高平齊,左視、俯視 寬相等”,三視圖是新課標的新增內(nèi)容,在以后的高考中有加強的可能.用向量法求線面角是空間向量的一個重要運用,其步驟是:
一、建立坐標系,表示出相應量的坐標,
二、求出直線的方向向量以及面的法向量,
三、利用公式表示線面角或者面面角的三角函數(shù)值求角.
用向量解決幾何問題是新課標的新增內(nèi)容,這幾年高考中此工具是一個常考常新的類型.