Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

a

x

，
（1）若a=0時(shí)，直線y=x+b為函數(shù)y=f（x）的一條切線，求實(shí)數(shù)b的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）在[1，e]上的最小值為

3

2

，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=0代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后令導(dǎo)函數(shù)的值等于1得到直線y=x+b與函數(shù)y=f（x）的切點(diǎn)，把切點(diǎn)代入直線方程即可得到b的值；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)大于0解出x的范圍，然后分a大于0和小于0討論，當(dāng)a＜0時(shí)具體分三種情況討論，利用f（x）在[1，e]上的最小值為

3

2

求a的值．

解答：解：（1）由f（x）=lnx-

a

x

（x＞0），
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx，
f′(x)=

1

x

，由

1

x

=1，得x=1，代入y=lnx，得y=0．
把（1，0）代入y=x+b，得b=-1；
（2）f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

．
令f'（x）≥0
∴x+a≥0，∴x≥-a．
若a＞0，則f'（x）＞0，函數(shù)在x＞0單調(diào)增．
若a＜0，則有極小值點(diǎn)x=-a，函數(shù)在x＞-a單調(diào)增．
當(dāng)-1≤a＜0時(shí)，在[1，e]上f'（x）≥0，∴f（x）_min=f（1）=-a≤1，不合題意．
當(dāng)-e＜a＜-1時(shí)，f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，∴a=-

e

．
當(dāng)a≤-e時(shí)，f（x）_min=f（e）=1-

a

e

＞2不合題意．
綜上得：a=-

e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，解答的關(guān)鍵是對(duì)a的范圍正確分段，此題是有一定難度題目．