Question

已知雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₁，-y₁）是雙曲線(xiàn)上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求直線(xiàn)A₁P與A₂Q交點(diǎn)的軌跡E的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)H（0，h）（h＞1）的兩條直線(xiàn)l₁和l₂與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn)，且l₁⊥l₂，求h的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定直線(xiàn)A₁P與A₂Q的方程；再聯(lián)立方程組解之（相乘處理）；最后利用點(diǎn)P（x₁，y₁）在雙曲線(xiàn)上，消去參數(shù)x₁、y₁（整體消元）求出軌跡E的方程；
（2）先由l₁⊥l₂設(shè)出兩直線(xiàn)方程；再分別與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)只有一個(gè)交點(diǎn)（即△=0）得出k、h的兩個(gè)方程；最后解出h的值．
解答：解：（1）由A₁，A₂為雙曲線(xiàn)的左右頂點(diǎn)知，，
則，，
兩式相乘得，
因?yàn)辄c(diǎn)P（x₁，y₁）在雙曲線(xiàn)上，所以，即，
所以，即，
故直線(xiàn)A₁P與A₂Q交點(diǎn)的軌跡E的方程為．（x≠，x≠0）
（2）設(shè)l₁：y=kx+h（k＞0），則由l₁⊥l₂知，．
將l₁：y=kx+h代入得，
即（1+2k²）x²+4khx+2h²-2=0，
若l₁與橢圓相切，則△=16k²h²-4（1+2k²）（2h²-2）=0，即1+2k²=h²；
同理若l₂與橢圓相切，則．
由l₁與l₂與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn)包含以下四種情況：
[1]直線(xiàn)l₁與l₂都與橢圓相切，即1+2k²=h²，且，消去h²得，即k²=1，
從而h²=1+2k²=3，即；
[2]直線(xiàn)l₁過(guò)點(diǎn)，而l₂與橢圓相切，此時(shí)，，解得；
[3]直線(xiàn)l₂過(guò)點(diǎn)，而l₁與橢圓相切，此時(shí)，1+2k²=h²，解得；
[4]直線(xiàn)l₁過(guò)點(diǎn)，而直線(xiàn)l₂過(guò)點(diǎn)，此時(shí)，，∴．
綜上所述，h的值為．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系及點(diǎn)的軌跡方程求法；同時(shí)考查方程思想、運(yùn)算能力等．