Question

如圖，F(xiàn)₁、F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₁的直線l與雙曲線的左、右兩個(gè)分支分別交于點(diǎn)A、B，若△ABF₂為等邊三角形，則該雙曲線的漸近線的斜率為（　�。�

• A、±

  3

  3

• B、±

  2

• C、±

  15

• D、±

  6

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)雙曲線的定義算出△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，由△ABF₂是等邊三角形得∠F₁AF₂=120°，利用余弦定理算出c²=7a²，結(jié)合雙曲線漸近線方程即可的結(jié)論．

解答： 解：根據(jù)雙曲線的定義，可得|AF₁|-|AF₂|=2a，
∵△ABF₂是等邊三角形，即|AF₂|=|AB|
∴|BF₁|=2a
又∵|BF₂|-|BF₁|=2a，
∴|BF₂|=|BF₁|+2a=4a，
∵△BF₁F₂中，|BF₁|=2a，|BF₂|=4a，∠F₁BF₂=120°
∴|F₁F₂|²=|BF₁|²+|BF₂|²-2|BF₁|•|BF₂|cos120°
即4c²=4a²+16a²-2×2a×4a×（-

1

2

）=28a²，
解得c²=7a²，
∴b=

6

a，
∴雙曲線的漸近線的斜率為±

6

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)條件求出a，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．