Question

（2013•嘉興一模）已知等差數(shù)列{a_n}的公差不為零，且a₃=5，a₁，a₂．a(chǎn)₅ 成等比數(shù)列
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：
（II）若數(shù)列{b_n}滿足b₁+2b₂+4b₃+…+2n^-1b_n=a_n且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n 試比較T_n與

3n-1

n+1

的大小．

Answer 1

分析：（I）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)的定義即可得到首項(xiàng)和公差，即可得到通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（I）可得：a_n=2n-1，由b₁+2b₂+4b₃+…+2n^-1b_n=a_n，及b₁+2b₂+4b₃+…+2n-1bn+2nbn=an+1，兩式相減可得bn+1=21-n，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得到T_n，與

3n-1

n+1

比較即可．

解答：解：（Ⅰ）在等差數(shù)列中，設(shè)公差為d≠0，
由題意

a1a5= a 2 2 a3=5

，∴

a1(a1+4d)=(a1+d)2 a1+2d=5

，
解得

a1=1 d=2

．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
（Ⅱ）∵b₁+2b₂+4b₃+…+2n^-1b_n=a_n，①
b₁+2b₂+4b₃+…+2n-1bn+2nbn=an+1，②
②-①得2ⁿb_n+1=2，∴bn+1=21-n．
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=a₁=1，∴bn=

22-n，當(dāng)m≥2時(shí) 1，當(dāng)n=1時(shí)

，
當(dāng)n=1時(shí)，T₁=a₁=1，

3×1-1

1+1

=1，此時(shí)Tn=

3n-1

n+1

．
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=1+4(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)
=1+

4× 1 22 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=3-

1

2n-2

．
又2n=(1+1)n=

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

＞n+1，
∴

1

2n-2

=

4

2n

＜

4

n+1

，3-

1

2n-2

＞3-

4

n+1

=

3n-1

n+1

．
∴當(dāng)n=1時(shí)，Tn=

3n-1

n+1

，當(dāng)n≥2時(shí)，Tn＞

3n-1

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)的定義、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、二項(xiàng)式定理是解題的關(guān)鍵．