Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c．
（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，證明f（x）的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；
（2）在（1）的條件下，是否存在m∈R，使得f（m）=-a成立時(shí)，f（m+3）為正數(shù)，若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若對(duì)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），方程f（x）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]有兩個(gè)不等實(shí)根，證明必有一個(gè)根屬于（x₁，x₂）．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=0，得a+b+c=0，根據(jù)a＞b＞c，可知a＞0，且c＜0，再利用根的判別式可證；
（2）由條件知方程的一根為1，另一根滿足-2＜x₂＜0．由于f（m）=-a＜0，可知m∈（-2，1），從而m+3＞1，根據(jù)函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，可知（m+3）＞0成立．
（3）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，進(jìn)而證明g（x₁）g（x₂）＜0，所以方程g（x）=0在（x₁，x₂）內(nèi)有一根，故方程f（x）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]必有一根屬于（x₁，x₂）．

解答：解：（1）因?yàn)閒（1）=0，
所以a+b+c=0，
又因?yàn)閍＞b＞c，
所以a＞0，且c＜0，
因此ac＜0，
所以△=b²-4ac＞0，
因此f（x）的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)．
（2）由（1）可知方程f（x）=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為x₁和x₂，
因?yàn)閒（1）=0，
所以f（x）=0的一根為x₁=1，
因?yàn)閤₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，
所以x₂=-

b

a

-1=

c

a

，
因?yàn)閍＞b＞c，a＞0，且c＜0，
所以-2＜x₂＜0．
因?yàn)橐�求f（m）=-a＜0，
所以m∈（x₁，x₂），
因此m∈（-2，1），
則m+3＞1，
因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
所以f（m+3）＞f（1）=0成立．
（3）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，
則g（x₁）=f（x₁）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

[f（x₁）-f（x₂）]，
g（x₂）=f（x₂）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

[f（x₂）-f（x₁）]，
于是g（x₁）g（x₂）=

1

4

[f（x₁）-f（x₂）][f（x₂）-f（x₁）]
=-

1

4

[f（x₁）-f（x₂）]²，
因?yàn)閒（x₁）≠f（x₂），
所以g（x₁）g（x₂）=-

1

4

[f（x₁）-f（x₂）]²＜0，
所以方程g（x）=0在（x₁，x₂）內(nèi)有一根，
即方程f（x）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]必有一根屬于（x₁，x₂）．

點(diǎn)評(píng)：本題以二次函數(shù)為載體，考查方程根的探求，考查函數(shù)值的確定及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，有一定的綜合性．