Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f (x)是正比例函數(shù)，函數(shù)g (x)是反比例函數(shù)，且f(1)＝1，g(1)＝2，

(1)求函數(shù)f (x)和g(x)；

(2)判斷函數(shù)f (x)＋g(x)的奇偶性．

(3)求函數(shù)f (x)＋g(x)在(0，]上的最小值．

 

Answer 1

【答案】

(1) f(x)＝x，g(x)＝.(2)函數(shù)f(x)＋g(x)是奇函數(shù)．

(3)函數(shù)f(x)＋g(x)在(0，]上的最小值是2.

【解析】本試題主要是考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的解析式以及函數(shù)的最值的綜合運用。

（1）設f(x)＝k₁x，g(x)＝，其中k₁k₂≠0然后結(jié)合已知中點的坐標的，餓到結(jié)論。

（2）設h(x)＝f(x)＋g(x)，則h(x)＝x＋，

∴函數(shù)h(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

∵h(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－h(huán)(x)得到證明。

（3）由(2)知h(x)＝x＋，設x₁，x₂是(0，]上的任意兩個實數(shù)，且x₁<x₂，，然后運用定義法得到單調(diào)性，確定最值。

解：(1)設f(x)＝k₁x，g(x)＝，其中k₁k₂≠0.

∵f(1)＝1，g(1)＝2，∴k₁×1＝1，＝2.

∴k₁＝1，k₂＝2.∴f(x)＝x，g(x)＝.

(2)設h(x)＝f(x)＋g(x)，則h(x)＝x＋，

∴函數(shù)h(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

∵h(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－h(huán)(x)，

∴函數(shù)h(x)是奇函數(shù)，即函數(shù)f(x)＋g(x)是奇函數(shù)．

(3)由(2)知h(x)＝x＋，設x₁，x₂是(0，]上的任意兩個實數(shù)，且x₁<x₂，

則h(x₁)－h(huán)(x₂)＝(x₁＋)－(x₂＋)＝(x₁－x₂)＋(－)

＝(x₁－x₂)(1－)＝，

∵x₁，x₂∈(0，]，且x₁<x₂，∴x₁－x₂<0,0<x₁x₂<2.

∴x₁x₂－2<0，(x₁－x₂)(x₁x₂－2)>0.

∴h(x₁)>h(x₂)．

∴函數(shù)h(x)在(0，]上是減函數(shù)，函數(shù)h(x)在(0，]上的最小值是h()＝2.

即函數(shù)f(x)＋g(x)在(0，]上的最小值是2.