Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d＞0，其前n項和為S_n，若S₃=12，且2a₁，a₂，1+a₃成等比數(shù)列．
（I）求{a_n}的通項公式；（II）記bn=

1

anan+1

(n∈N*)，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

（I）由題得：

2a1(a3+1)=a22 a1+a2+a3=12

即

a1(a1+2d+1) =8 a1+d=4

，得d²+d-12=0．
∵d＞0，∴d=3，a₁=1．
∴{a_n}的通項公式a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（II）∵b_n=

1

an•an+1

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

）．
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

3

[（1-

1

4

）+（

1

4

-

1

7

）+…+（

1

3n-2

-

1

3n+1

）]
=

1

3

（1-

1

3n+1

）
=

n

3n+1

．