Question

已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程-2e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）僅有有兩個不等的實根，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導，令導數(shù)大于零，對a分情況討論，根據(jù)一元二次不等式的解的情況，即可求得結(jié)論；
（2）關(guān)于x的方程-2e恰有兩個不等的實根，等價于恰有兩個不等的實根，令G（x）=，利用導數(shù)工具，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）函數(shù)F（x）的定義域為（0，+∞），F(xiàn)′（x）=1-+=…（1分）
 設(shè)h（x）=x²+x-a，方程x²+x-a=0的判別式△=1+4a，
①當△≤0時，即a≤-，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），無單調(diào)減區(qū)間   …（3分）
②當△＞0時，方程x²+x-a=0的兩根為x₁=，x₂=，
（i）當，即-＜a≤0時，F(xiàn)'（x）＞0，
F（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），無單調(diào)減區(qū)間   
（ii）當，即a＞0時，當x∈（0，）時，F(xiàn)'（x）＜0，
當x∈（，+∞）時，F(xiàn)'（x）＞0，
可得，當a＞0時，F(xiàn)（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，，單調(diào)減區(qū)間 （，+∞）．

（2）方程-2e=f（x）??lnx=x2-a?…（7分）
令G（x）=，則G（x）的定義域為（0，+∞），
G′（x）=＞0，得0＜x＜e，∴G′（x）＜0得x＞e，
所以G（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（ e，+∞）上單調(diào)遞減     …（10分）
G（x）_min=G（ e）=，函數(shù)G（x）的大致圖象如圖所示．
令H（x）=x²-2ex+a，則H（x）在x=e時取得最小值H（e）=a-e ²，
關(guān)于x的方程-2e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）僅有有兩個不等的實根，
必有a-e²＜，∴a＜e²+
所以a的取值范圍是a＜e²+   …（12分）
點評：掌握導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，會熟練運用導數(shù)解決函數(shù)的極值與最值問題．考查了計算能力和分析解決問題的能力，體現(xiàn)了分類討論和轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．