Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求異面直線CC₁和AB的距離；
（Ⅱ）若AB₁⊥A₁C，求二面角A₁-CD-B₁的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根據(jù)條件得到CD⊥AB以及CC₁⊥CD，進(jìn)而求出C的長(zhǎng)即可；
（Ⅱ）解法一；先根據(jù)條件得到∠A₁DB₁為所求的二面角A₁-CD-B₁的平面角，再根據(jù)三角形相似求出棱柱的高，進(jìn)而在三角形A₁DB₁中求出結(jié)論即可；
解法二：過D作DD₁∥AA₁交A₁B₁于D₁，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量的坐標(biāo)，最后代入向量的夾角計(jì)算公式即可求出結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）解：因?yàn)锳C=BC，D為AB的中點(diǎn)，故CD⊥AB，
又直三棱柱中，CC₁⊥面ABC，故CC₁⊥CD，
所以異面直線CC₁和AB的距離為：CD==．
（Ⅱ）解法一；由CD⊥AB，CD⊥BB₁，故CD⊥平面A₁ABB₁，
從而CD⊥DA₁，CD⊥DB₁，故∠A₁DB₁為所求的二面角A₁-CD-B₁的平面角．
因A₁D是A₁C在面A₁ABB₁上的射影，
又已知AB₁⊥A₁C，由三垂線定理的逆定理得AB₁⊥A₁D，
從而∠A₁AB₁，∠A₁DA都與∠B₁AB互余，
因此∠A₁AB₁=∠∠A₁DA，
所以RT△A₁AD∽R(shí)T△B₁A₁A，
因此=，得=AD•A₁B₁=8，
從而A₁D==2，B₁D=A₁D=2．
所以在三角形A₁DB₁中，cos∠A₁DB₁==．
解法二：過D作DD₁∥AA₁交A₁B₁于D₁，在直三棱柱中，
由第一問知：DB，DC，DD₁兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，射線DB，DC，DD₁分別為X軸，Y軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-XYZ．．
設(shè)直三棱柱的高為h，則A（-2，0，0），A₁（-2，0，h）．B₁（2，0，h）．C（0，，0）
從而=（4，0，h），=（2，，-h）．
由AB₁⊥A₁C得•=0，即8-h²=0，因此h=2，
故=（-1，0，2），=（2，0，2），=（0，，0）．
設(shè)平面A₁CD的法向量為=（x，y，z），則⊥，⊥，即取z=1，得=（，0，1），
設(shè)平面B₁CD的法向量為=（a，b，c），則⊥，，即取c=-1得=（，0，-1），
所以cos＜，＞===．
所以二面角的平面角的余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察異面直線間的距離計(jì)算以及二面角的平面角及求法．在求異面直線間的距離時(shí)，關(guān)鍵是求出異面直線的公垂線．