Question

已知橢圓的中心在坐標原點O，長軸長為，離心率，過右焦點F的直線l交橢圓于P，Q兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當直線l的斜率為1時，求△POQ的面積；
（3）若以OP，OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形，求滿足該條件的直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，設出橢圓的方程，分析可得橢圓長軸長為，離心率，可得a、c的值，進而可得b的值，代入所設的橢圓方程即可得答案；
（2）根據題意，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立兩者方程即，可得3y²+2y-1=0，解得；由三角形面積公式，計算可得答案；
（3）根據題意，分情況討論，①當直線l與x軸垂直時，易得其不合題意，②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x-1）．聯(lián)立，可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0；表示出兩根之和、之積；又由y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）；可得
根據矩形的性質，結合向量的數(shù)量積的運算，可得k²=2，可得k的值，進而可得直線的方程．
解答：解：（1）由已知，橢圓方程可設為．
∵長軸長為，離心率，
∴．
所求橢圓方程為．
（2）因為直線l過橢圓右焦點F（1，0），且斜率為1，所以直線l的方程為y=x-1．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由得3y²+2y-1=0，解得．
∴．
（3）當直線l與x軸垂直時，直線l的方程為x=1，此時∠POQ小于90°，OP，OQ為鄰邊的平行四邊形不可能是矩形．
當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x-1）．
由可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴．
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）
∴
因為以OP，OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形．
由得k²=2，
∴．
∴所求直線的方程為．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識體系的重點內容，問題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運算量繁簡差別很大，故此類問題能有效地考查考生分析問題、解決問題的能力，平時應作為重點來復習訓練．