Question

集合A={（x，y）|y=-x²+mx-1}，B={（x，y）|y=3-x，0≤x≤3}．
（1）當(dāng)m=4時，求A∩B；
（2）若A∩B是只有一個元素的集合，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將m=4代入A確定出A，聯(lián)立A與B中歐的函數(shù)解析式，求出交點坐標(biāo)，即為兩集合的交集；
（2）集合A表示拋物線上的點，拋物線y=-x²+mx-1，開口向下且過點（0，-1），集合B表示線段上的點，要使A∩B只有一個元素，則線段與拋物線的位置關(guān)系有以下兩種，分別求出m的范圍即可．

解答：解：（1）當(dāng)m=4時，集合A={（x，y）|y=-x²+4x-1}，B={（x，y）|y=3-x，0≤x≤3}，
聯(lián)立得：

y=3-x y=-x2+4x-1

，
消去y得：3-x=-x²+4x-1，
即（x-1）（x-4）=0，
解得：x=1或x=4（不合題意，舍去），
將x=1代入y=3-x得y=2，
則A∩B={（1，2）}；
（2）集合A表示拋物線上的點，拋物線y=-x²+mx-1，開口向下且過點（0，-1），集合B表示線段上的點，
要使A∩B只有一個元素，則線段與拋物線的位置關(guān)系有以下兩種，如圖：

（i）由圖1知，在函數(shù)f（x）=-x²+mx-1中，只要f（3）≥0，即-9+3m-1≥0，
解得：m≥

10

3

；
（ii）由圖2知，拋物線與直線在x∈[0，3]上相切，
聯(lián)立得：

y=-x2+mx-1 y=3-x

，
消去y得：-x²+mx-1=3-x，
整理得：x²-（m+1）x+4=0，
當(dāng)△=（m+1）²-16=0，
∴m=3或m=-5，
當(dāng)m=3時，切點（2，1）適合，當(dāng)m=-5時，切點（-2，5）舍去，
綜上，m范圍為m=3或m≥

10

3

．

點評：此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．