精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】已知函數f(x)=x2+2bx+c,且f(1)=f(3)=﹣1.設a>0,將函數f(x)的圖象先向右平移a個單位長度,再向下平移a2個單位長度,得到函數g(x)的圖象. (Ⅰ)若函數g(x)有兩個零點x1 , x2 , 且x1<4<x2 , 求實數a的取值范圍;
(Ⅱ)設連續(xù)函數在區(qū)間[m,n]上的值域為[λ,μ],若有 ,則稱該函數為“陡峭函數”.若函數g(x)在區(qū)間[a,2a]上為“陡峭函數”,求實數a的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)由 ,

即f(x)=x2﹣4x+2,…(1分)

由題設可知g(x)=(x﹣a)2﹣4(x﹣a)+2﹣a2=x2﹣(2a+4)x+4a+2,

因為g(x)有兩個零點x1,x2,且x1<4<x2

∴g(4)=16﹣4(2a+4)+4a+2<0, ,

又a>0,于是實數a的取值范圍為

(Ⅱ)由g(x)=x2﹣(2a+4)x+4a+2可知,其對稱軸為x=a+2,

①當0<a≤2時,a+2≥2a,函數g(x)在區(qū)間[a,2a]上單調遞減,

最小值λ=g(2a)=﹣4a+2,最大值μ=g(a)=﹣a2+2,

,顯然此時a不存在,

②當2<a≤4時,a<a+2<2a,最小值λ=g(a+2)=﹣a2﹣2,

,最大值μ=g(a)=﹣a2+2,則 ,又2<a≤4,此時a亦不存在,

③當a>4時,a<a+2<2a,最小值λ=g(a+2)=﹣a2﹣2,

,故最大值μ=g(2a)=﹣4a+2,

, ,即 ,

綜上可知,實數a的取值范圍為


【解析】(Ⅰ)由f(1)=f(3)=﹣1求出b,c值,得到函數f(x)的解析式,進而可得函數g(x)的解析式,由函數g(x)有兩個零點x1,x2,且x1<4<x2,可得g(4)<0,解得實數a的取值范圍;(Ⅱ)根據已知中“陡峭函數”的定義,結合二次函數的圖象和性質,分類討論,可得滿足條件的實數a的取值范圍.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知函數f(x)=x﹣ . (Ⅰ)判斷f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)用函數單調性的定義證明:f(x)在(0,+∞)上是增函數.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,已知F為拋物線y2=4x的焦點,點A,B,C在該拋物線上,其中A,C關于x軸對稱(A在第一象限),且直線BC經過點F.

(1)若△ABC的重心為G( ),求直線AB的方程;
(2)設SABO=S1 , SCFO=S2 , 其中O為坐標原點,求S12+S22的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知函數f(x)= ax2﹣(2a+1)x+2lnx(a∈R). (Ⅰ)若曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,求a的值;
(Ⅱ)求f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅲ)設g(x)=x2﹣2x,若對任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】下列4個命題,其中正確的命題是 ①“ ”是“ 不共線”的充要條件;
②已知向量 是空間兩個向量,若 ,則向量 的夾角為60°;
③拋物線y=﹣x2上的點到直線4x+3y﹣8=0的距離的最小值是
④與兩圓A:(x+5)2+y2=49和圓B:(x﹣5)2+y2=1都外切的圓的圓心P的軌跡方程為

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】如圖所示,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分別是AB、PC的中點,PA=AD=1,AB=2.
(1)求證:MN∥平面PAD;
(2)求證:平面PMC⊥平面PCD;
(3)求點D到平面PMC的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為1的正方形,側棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是側棱PA的中點.
(1)求證:PC∥平面BDE
(2)求三棱錐P﹣CED的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知α是第二象限角,且cos(α+π)=
(1)求tanα的值;
(2)求sin(α﹣ )sin(﹣α﹣π)的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓 的右焦點到直線 的距離為 ,離心率 ,A,B是橢圓上的兩動點,動點P滿足 ,(其中λ為常數).
(1)求橢圓標準方程;
(2)當λ=1且直線AB與OP斜率均存在時,求|kAB|+|kOP|的最小值;
(3)若G是線段AB的中點,且kOAkOB=kOGkAB , 問是否存在常數λ和平面內兩定點M,N,使得動點P滿足PM+PN=18,若存在,求出λ的值和定點M,N;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案