Question

一個(gè)袋中裝有黑球，白球和紅球共n（n∈N^*）個(gè)，這些球除顏色外完全相同．已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是

2

5

．現(xiàn)從袋中任意摸出2個(gè)球．
（1）若n=15，且摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率是

4

7

，設(shè)ξ表示摸出的2個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望Eξ；
（2）當(dāng)n取何值時(shí)，摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)黑球的概率最大，最大概率為多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意設(shè)出黑球和白球的個(gè)數(shù)，列出關(guān)于概率的方程，解出兩種球的個(gè)數(shù)，由題意知變量取值，根據(jù)對(duì)應(yīng)的事件做出分布列，求出期望．
（2）設(shè)袋中有黑球個(gè)數(shù)，設(shè)從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少得到一個(gè)黑球?yàn)槭录﨏，用摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)黑球的對(duì)立事件摸兩個(gè)球沒(méi)有黑球，表示出概率，得到結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)袋中黑球的個(gè)數(shù)為x（個(gè)），
記“從袋中任意摸出一個(gè)球，得到黑球”為事件A，
則P(A)=

x

15

=

2

5

．
∴x=6．
設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為y（個(gè)），
記“從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少得到一個(gè)白球”為事件B，
則P(B)=1-

C 2 15-y

C 2 15

=

4

7

，
∴y²-29y+120=0，∴y=5或y=24（舍）．
∴紅球的個(gè)數(shù)為15-6-5=4（個(gè)）．
∴隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，分布列是

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=

11

21

×0+

44

105

×1+

2

35

×2=

56

105

=

8

15

；

（2）設(shè)袋中有黑球z個(gè)，則z=

2

5

n(n=5，10，15，）．
設(shè)“從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少得到一個(gè)黑球”為事件C，
用摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)黑球的對(duì)立事件求出
則P(C)=1-

C 2 3 5 n

C 2 n

=

16

25

+

6

25

×

1

n-1

，
當(dāng)n=5時(shí)，P（C）最大，最大值為

7

10

．

點(diǎn)評(píng)：考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，對(duì)立事件是指同一次試驗(yàn)中，不會(huì)同時(shí)發(fā)生的事件，遇到求用至少來(lái)表述的事件的概率時(shí)，往往先求它的對(duì)立事件的概率．