命題:在△ABC中,若A>B,則sinA>sinB,判斷此命題是否為真命題.若是,請(qǐng)給予證明,若不是,請(qǐng)舉出反例.
分析:方法一:利用正弦函數(shù)的單調(diào)性,及誘導(dǎo)公式,分當(dāng)0<B<A≤
π
2
時(shí)和當(dāng)0<B<
π
2
<A<π時(shí)兩種情況,分別討論原命題的真假,最后綜合討論結(jié)果可得答案.
方法二:根據(jù)三角形中大角對(duì)大邊,可得a>b,進(jìn)而由正弦定理,得到結(jié)論.
解答:解:這個(gè)命題是真命題.
方法1:(1)當(dāng)0<B<A≤
π
2
時(shí),y=sinx在(0,
π
2
]單調(diào)遞增,
∴sinB<sinA.
(2)當(dāng)0<B<
π
2
<A<π時(shí),
∵A+B<π,
π
2
<A<π-B.
又∵y=sinx在(
π
2
,π)單調(diào)遞減,
∴sinA>sin(π-B)=sinB.
即sinB<sinA.
方法2:使用正弦定理證明.
在△ABC中,若A>B,則a>b,
由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=2R,
得2RsinA>2RsinB
即sinA>sinB成立.
點(diǎn)評(píng):本題以命題的真假判斷為載體考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),熟練掌握正弦函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于下列命題:
①在△ABC中,若sin2A=sin2B,則△ABC為等腰三角形;
②已知a,b,c是△ABC的三邊長(zhǎng),若a=2,b=5,A=
π
6
,則△ABC有兩組解;
③設(shè)a=sin
2012π
3
,b=cos
2012π
3
,c=tan
2012π
3
,則a>b>c;
④將函數(shù)y=2sin(3x+
π
6
)
圖象向左平移
π
6
個(gè)單位,得到函數(shù)y=2cos(3x+
π
6
)
圖象.
其中正確命題的個(gè)數(shù)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出下列命題:
①在△ABC中,若
AB
CA
>0,∠A為銳角.
②函數(shù)y=x3在R上既是奇函數(shù)又是增函數(shù).
③不等式x2-4ax+3a2<0的解集為{x|a<x<3a}.
④函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=a至多有一個(gè)交點(diǎn).
其中正確命題的序號(hào)是
②④
②④
.(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于下列命題:
①在△ABC中,若sin2A=sin2B,則△ABC為等腰三角形;
②已知a,b,c是△ABC的三邊長(zhǎng),若a=2,b=5,A=
π
6
,則△ABC有兩組解;
③設(shè)a=sin
2012π
3
,b=cos
2012π
3
,c=tan
2012π
3
,則a>b>c;
④將函數(shù)y=2sin(3x+
π
6
)
圖象向左平移
π
6
個(gè)單位,得到函數(shù)y=2cos(3x+
π
6
)
圖象.
其中正確命題的序號(hào)是
③④
③④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給定下列命題:
①在△ABC中,∠A<∠B是cos2A>cos2B的充要條件;
②λ,μ為實(shí)數(shù),若λ
a
b
,則
a
b
共線;
③若向量
a
,
b
滿足|
a
|=|
b
|,則
a
=
b
a
=-
b
;
④f(x)=|sinx|+|cosx|,則f(x)的最小正周期是π;
其中真命題個(gè)數(shù)是( 。
A、0B、1C、2D、3

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