Question

已知橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為（0，-1），焦點(diǎn)在x軸上，右焦點(diǎn)到直線x-y+1=0的距離為

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F（1，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，

FA

=λ

FB

，T（2，0），λ∈[2，-1]，求|

TA

+

TB

|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意的性質(zhì)，可得b=1，再由點(diǎn)到直線的距離公式，可得c，再由a，b，c的關(guān)系，得到a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量知識(shí)，結(jié)合配方法，即可求|

TA

+

TB

|的取值范圍．

解答： 解：（1）橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為（0，-1），
且焦點(diǎn)在x軸上，則b=1，
右焦點(diǎn)（c，0）到直線x-y+1=0的距離為

2

，
則

|c-0+1|

2

=

2

，
則c=1，則a²=b²+c²=2，
即有橢圓C的方程

x2

2

+y²=1；
（2）由題意容易驗(yàn)證直線l的斜率不為0，故可設(shè)直線l的方程為x=ky+1，
代入橢圓方程

x2

2

+y²=1中，得（k²+2）y²+2ky-1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數(shù)關(guān)系，得y₁+y₂=-

2k

2+k2

①，y₁y₂=-

1

2+k2

②，
因?yàn)?span id="gnfj4c4" class="MathJye">

FA

=λ

FB

，所以

y1

y2

=λ且λ＜0，所以將上式①的平方除以②，得

y1

y2

+

y2

y1

+2=

-4k2

2+k2

，
即

(y1+y2)2

y1y2

=

-4k2

2+k2

，所以λ+

1

λ

+2=

-4k2

2+k2

，
由λ∈[-2，-1]，則-

5

2

≤λ+

1

λ

≤-2，-

1

2

≤λ+

1

λ

+2≤0，即-

1

2

≤

4k2

2+k2

≤0，
即0≤k²≤

2

7

．
∵

TA

=（x₁-2，y₁），

TB

=（x₂-2，y₂），
∴

TA

+

TB

=（x₁+x₁-4，y₁+y₂），
又y₁+y₂=-

2k

2+k2

，x₁+x₂-4=k（y₁+y₂）-2=-

4(1+k2)

2+k2

，
故|

TA

+

TB

|²=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2=

16(1+k2)2

(2+k2)2

+

4k2

(2+k2)2

=16-

28

2+k2

+

8

(2+k2)2

．令t=

1

2+k2

，由于0≤k²≤

2

7

．則

7

16

≤t≤

1

2

，
則|

TA

+

TB

|²=16-28t+8t²=8（t-

7

4

）²-

17

2

，
由于

7

16

≤t≤

1

2

，∴|

TA

+

TB

|²∈[4，

169

32

]．
則|

TA

+

TB

|∈[2，

13 2

8

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．