Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥PD，E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點(diǎn)．證明
（1）EF∥平面PAD；
（2）EF⊥平面PDC．

Answer 1

【答案】分析：（1）若證明EF∥平面PAD，關(guān)鍵是要找到平面PAD內(nèi)一條可能與EF平行的直線，分別圖形后發(fā)現(xiàn)PA即為所求，故連接AC后，利用中位線的性質(zhì)，即可臨到結(jié)論．
（2）若證明EF⊥平面PDC，我們要證明EF與平面PDC中兩條相交直線均垂直，已知中底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥PD，結(jié)合（1）中結(jié)論，易證明出：CD⊥PA且PA⊥PD，根據(jù)線面垂直的判定定理即可得到結(jié)論．
解答：證明：（1）連接AC，在△CPA中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PC，BD的中點(diǎn)，
所以EF∥PA．而PA?平面PAD，EF?平面PAD，
所以直線EF∥平面PAD．
（2）因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，且CD⊥AD，
所以CD⊥PA．又因?yàn)镻A⊥PD，且CD，PD?平面PDC，
所以PA⊥平面PDC．而EF∥PA，所以EF⊥平面PDC．
點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)瞇是直線與平面平等的判定及直線與平面垂直的判定，熟練掌握線面關(guān)系的判定定理是解答此類問題的關(guān)鍵．