Question

已知函數(shù)f(x)＝ex－ln(x＋m)．

(1)設(shè)x＝0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)>0.

 

Answer 1

（1）1（2）見解析

【解析】f′(x)＝ex－，由x＝0是f(x)的極值點(diǎn)，得f′(0)＝0，所以m＝1，

于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定義域?yàn)?/span>{x|x>－1}，

f′(x)＝ex－，

函數(shù)f′(x)＝ex－在(－1，＋∞)上單遞增，

且f′(0)＝0，

因此當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，f′(x)<0；

當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.

所以f(x)在(－1,0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．

(2)證明　當(dāng)m≤2，x∈(－m，＋∞)時(shí)，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需證明當(dāng)m＝2時(shí)，f(x)>0，

當(dāng)m＝2時(shí)，函數(shù)f′(x)＝ex－在(－2，＋∞)上單調(diào)遞增．

又f′(－1)<0，f′(0)>0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)上有唯一實(shí)根x0，且x0∈(－1,0)．

當(dāng)x∈(－2，x0)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，從而當(dāng)x＝x0時(shí)，f(x)取得最小值．

由f′(x0)＝0，得ex0＝，即ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝ >0.綜上，當(dāng)m≤2時(shí)，f(x)>0.