【題目】已知函數(shù)f(x)=|x2﹣1|+x2+kx.
(1)若對(duì)于區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的任意x,總有f(x)≥0成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1 , x2 , 求:
①實(shí)數(shù)k的取值范圍;
② 的取值范圍.
【答案】
(1)解:f(x)≥0|x2﹣1|+x2+kx≥0k≥﹣ ,x∈(0,+∞),
記g(x)=﹣ = ,易知g(x)在(0,1]上遞增,在(1,+∞)上遞減,
∴g(x)max=g(1)=﹣1,
∴k≥﹣1;
(2)解:①(ⅰ)0<x≤1時(shí),方程f(x)=0化為kx+1=0,k=0時(shí),無(wú)解;k≠0時(shí),x=﹣ ;
(ⅱ)1<x<2時(shí),方程f(x)=0化為2x2+kx﹣1=0,x= ,而其中 < ≤0,
故f(x)=0在區(qū)間(1,2)內(nèi)至多有一解x= ;
綜合(。áⅲ┛芍,k≠0,且0<x≤1時(shí),方程f(x)=0有一解x=﹣ ,故k≤﹣1;
1<x<2時(shí),方程f(x)=0也僅有一解x= ,令1< <2,得﹣ <k<﹣1,
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是﹣ <k<﹣1;
②方程f(x)=0的兩解分別為x1=﹣ ,x2= ,
=﹣k+ =﹣k+ = =2x2∈(2,4).
【解析】(1)由f(x)≥0分離出參數(shù)k,得k≥﹣ ,x∈(0,+∞),記g(x)=﹣ ,則問(wèn)題等價(jià)于k≥g(x)max , 由單調(diào)性可得g(x)max;(2)①(i)當(dāng)0<x≤1時(shí),方程f(x)=0為一次型方程,易判斷k≠0時(shí)有一解;當(dāng)1<x<2時(shí),方程f(x)=0為二次方程,可求得兩解,易判斷其一不適合,令另一解大于1小于2,可得k的范圍,綜合可得結(jié)論;(ii)由①易知兩零點(diǎn)x1 , x2 , 從而可表示出 ,化簡(jiǎn)可得為2x2 , 結(jié)合(ii)可得結(jié)論;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了增強(qiáng)環(huán)保意識(shí),我校從男生中隨機(jī)抽取了60人,從女生中隨機(jī)抽取了50人參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示:
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 總計(jì) | |
男生 | 40 | 20 | 60 |
女生 | 20 | 30 | 50 |
總計(jì) | 60 | 50 | 110 |
(1)試判斷是否有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)是否優(yōu)秀與性別有關(guān);
(2)為參加市里舉辦的環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽,學(xué)校舉辦預(yù)選賽,已知在環(huán)保測(cè)試中優(yōu)秀的同學(xué)通過(guò)預(yù)選賽的概率為 ,現(xiàn)在環(huán)保測(cè)試中優(yōu)秀的同學(xué)中選3人參加預(yù)選賽,若隨機(jī)變量X表示這3人中通過(guò)預(yù)選賽的人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附:K2=
P(K2≥k) | 0.500 | 0.400 | 0.100 | 0.010 | 0.001 |
k | 0.455 | 0.708 | 2.706 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c(其中b,c為實(shí)常數(shù)).
(1)若b>2,且y=f(sinx)(x∈R)的最大值為5,最小值為﹣1,求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)是否存在這樣的函數(shù)y=f(x),使得{y|y=x2+bx+c,﹣1≤x≤0}=[﹣1,0],若存在,求出函數(shù)y=f(x)的解析式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)記集合A={x|f(x)=x,x∈R},B={x|f(f(x))=x,x∈R}.
①若A≠,求證:B≠;
②若A=,判斷B是否也為空集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【揚(yáng)州市2016—2017學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測(cè)】(本小題滿分14分)
如圖,矩形ABCD是一個(gè)歷史文物展覽廳的俯視圖,點(diǎn)E在AB上,在梯形BCDE區(qū)域內(nèi)部展示文物,DE是玻璃幕墻,游客只能在ADE區(qū)域內(nèi)參觀.在AE上點(diǎn)P處安裝一可旋轉(zhuǎn)的監(jiān)控?cái)z像頭,為監(jiān)控角,其中M、N在線段DE(含端點(diǎn))上,且點(diǎn)M在點(diǎn)N的右下方.經(jīng)測(cè)量得知:AD=6米,AE=6米,AP=2米,.記(弧度),監(jiān)控?cái)z像頭的可視區(qū)域PMN的面積為S平方米.
(1)求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出的取值范圍;(參考數(shù)據(jù):)
(2)求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》規(guī)定:車輛駕駛員血液酒精濃度在20~80mg/100mL(不含80)之間,屬于酒后駕車;在80mg/100mL(含80)以上時(shí),屬于醉酒駕車.某市公安局交通管理部門(mén)在某路段的一次攔查行動(dòng)中,依法檢查了300輛機(jī)動(dòng)車,查處酒后駕車和醉酒駕車的駕駛員共20人,檢測(cè)結(jié)果如表:
酒精含量(mg/100mL) | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100) |
人數(shù) | 3 | 4 | 1 | 4 | 2 | 3 | 2 | 1 |
(1)繪制出檢測(cè)數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖(計(jì)算并標(biāo)上選取的y軸單位長(zhǎng)度,在圖中用實(shí)線畫(huà)出矩形框并用陰影表示),估計(jì)檢測(cè)數(shù)據(jù)中酒精含量的眾數(shù)
(2)求檢測(cè)數(shù)據(jù)中醉酒駕駛的頻率,并估計(jì)檢測(cè)數(shù)據(jù)中酒精含量的中位數(shù)、平均數(shù)(請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【2017遼寧莊河市四模】如圖,四棱錐中,底面是矩形,平面 平面,且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形, ,點(diǎn)是的中點(diǎn).
(1)求證: 平面 ;
(2)點(diǎn) 在 上,且滿足 ,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【2017四川宜賓二診】如甲圖所示,在矩形中, , , 是的中點(diǎn),將沿折起到位置,使平面平面,得到乙圖所示的四棱錐.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《中國(guó)謎語(yǔ)大會(huì)》是中央電視臺(tái)科教頻道的一檔集文化、益智、娛樂(lè)為一體的大型電視競(jìng)猜節(jié)目,目的是為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化、豐富群眾文化生活.為選拔選手參加“中國(guó)謎語(yǔ)大會(huì)”,某地區(qū)舉行了一次“謎語(yǔ)大賽”活動(dòng).為了了解本次競(jìng)賽選手的成績(jī)情況,從中抽取了部分選手的分?jǐn)?shù)(得分取正整數(shù),滿分為100分)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì).按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)的分組作出頻率分布直方圖,并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖(圖中僅列出得分在[50,60),[90,100)的數(shù)據(jù)).
(1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x,y的值;
(2)分?jǐn)?shù)在[80,90)的學(xué)生中,男生有2人,現(xiàn)從該組抽取三人“座談”,求至少有兩名女生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】記Sn為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,已知S2=2,S3=-6.
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列。
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