Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E，F(xiàn)分別為PD，AC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAB；
（2）求點(diǎn)F到平面ABE的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取PA中點(diǎn)M，AB中點(diǎn)N，連接MN，NF，ME，容易證明四邊形MNFE為平行四邊形，所以EF∥MN，利用線面平行的判定定理得到EF∥平面PAB；
（2）F到平面ABE的距離等于D到平面ABE的距離的一半且DE=

2

，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：分別取PA和AB中點(diǎn)M，N，連接MN、ME、NF，
則NF∥AD，且NF=

1

2

AD，ME∥AD，且ME=

1

2

AD，
所以NF∥ME，且NF=ME，
所以四邊形MNFE為平行四邊形；
所以EF∥MN，
又EF?平面PAB，MN?平面PAB，
所以EF∥平面PAB；

（2）解：因?yàn)樗睦忮FP-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E為PD的中點(diǎn)，
所以PD⊥AE，
因?yàn)镻D⊥AB，AB∩AE=A，
所以PD⊥平面ABE，即DE為D到平面ABE的距離，
因?yàn)镕到平面ABE的距離等于D到平面ABE的距離的一半且DE=

2

，
所以F到平面ABE的距離等于

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)到平面的距離，考查線面平行的判定定理，正確運(yùn)用線面平行的判定定理是關(guān)鍵．