Question

已知A、B、C為直線l上不同的三點，點O∉直線l．
（1）若

OC

=λ

OA

+

2

3

OB

（λ∈R），則λ=

 

；
（2）已知實數(shù)x滿足關(guān)系式x²

OA

+2x

OB

+

OC

=

0

，有下列命題：
①

OB2

-

OC

•

OA

≥0；
②

OB2

-

OC

•

OA

＜0；
③x的值有且只有一個；
④x的值有兩個；
⑤點B是線段AC的中點．
則正確的命題是

 

．（寫出所有正確命題的編號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由共線向量定理得，

AC

=k

AB

（k為實數(shù)），），即

OC

=（1-k）

OA

+k

OB

，即可求出λ；
（2）由（1）得，-x²-2x=1，解得x=-1．可判斷③、④；代入x，可判斷⑤；兩邊平方，應(yīng)用向量的數(shù)量積的性質(zhì)，即可判斷①、②．

解答： 解：（1）∵A、B、C為直線l上不同的三點，點O∉直線l，
∴

AC

=k

AB

（k為實數(shù)），
即

OC

-

OA

=k（

OB

-

OA

），即

OC

=（1-k）

OA

+k

OB

，
由

OC

=λ

OA

+

2

3

OB

（λ∈R），得λ=1-

2

3

=

1

3

，
（2）由于實數(shù)x滿足關(guān)系式x²

OA

+2x

OB

+

OC

=

0

，
即

OC

=-x²

OA

-x

OB

，
∵A、B、C為直線l上不同的三點，點O∉直線l，
∴-x²-2x=1，解得x=-1．
則③正確，④錯誤．
此時

OB

=

1

2

（

OA

+

OC

），故⑤正確；

OB

2=

1

4

（

OA

+

OC

）²=

1

4

（

OA

2+

OC

2+2

OA

•

OC

）≥

1

4

（2|

OA

|•|

OC

|+2

OA

•

OC

）
≥

1

4

×4

OA

•

OC

═

OA

•

OC

，從而①正確，②錯誤．
故答案為：

1

3

，①③⑤

點評：本題平面向量及應(yīng)用，考查向量的共線與點共線的關(guān)系，向量的數(shù)量積的性質(zhì)，屬于中檔題．