（2013•遼寧一模）在正三棱錐P-ABC中，有一半球，其底面與三棱錐的底面重合，正三棱錐的三個(gè)側(cè)面都與半球相切，如果半球的半徑等于1，則正三棱錐的體積最小時(shí)，正三棱錐的高等于（　　）
分析：畫出圖形，設(shè)三棱錐的高 PO=x，底面△ABC的AB邊上的高 CD=y，求出x，y的關(guān)系，推出體積的表達(dá)式，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可求出高的值．
解答： 解：根據(jù)題意，畫出圖形如下，
其中，立體圖形只畫出了半球的底面．
設(shè)三棱錐的高 PO=x，
底面△ABC的AB邊上的高 CD=3•OD=3y
在縱切面圖形可看出，Rt△PEO∽R(shí)t△POD，
則
PO
EO
=
PD
OD
，而 PD=
PO2+OD2
，即
1
x
=
x2+y2
y
，整理得 x2y2=x2+y2，
所以 y2=
x2
x2-1
，
而三棱錐P-ABC的體積等于
1
3
×底面△ABC的面積×高PO，即V=
1
3
×
1
2
×AB×CD×PO=
1
3
×
1
2
×2
3
y×3y×x=
3
y2x=
3
x3
x2-1
，
對(duì)體積函數(shù)求導(dǎo)，得
V′=
3
x2(x2-3)
(x2-1)2
，令V′=0，解得唯一正解 x=
3
，
由該體積函數(shù)的幾何意義可知 x=
3
為其體積最小值點(diǎn)，
故三棱錐體積最小時(shí)Vmin=
9
2
，高為
3
．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體的內(nèi)接球的問題，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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（2013•遼寧一模）已知：函數(shù)f（x）=-x3+mx在（0，1）上是增函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值的集合A；
（2）當(dāng)m取集合A中的最小值時(shí)，定義數(shù)列{an}：滿足a1=3，且an＞0，an+1=
-3f′(an)+9
-2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
（3）若bn=nan數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：Sn＞
1
2
．

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（2013•遼寧一模）已知直線l是過點(diǎn)P（-1，2），方向向量為
n
=(-1，
3
)的直線，圓方程ρ=2cos(θ+
π
3
)
（1）求直線l的參數(shù)方程
（2）設(shè)直線l與圓相交于M，N兩點(diǎn)，求|PM|•|PN|的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•遼寧一模）命題“?x∈R，使x2+ax-4a＜0為假命題”是“-16≤a≤0”的（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•遼寧一模）已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F，直線x=
a2
c
與其漸近線交于A，B兩點(diǎn)，且△ABF為鈍角三角形，則雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•遼寧一模）已知O是銳角△ABC的外接圓圓心，∠A=θ，若
cosB
sinC
AB
+
cosC
sinB
AC
=2m
AO
，則m=
sinθ
sinθ
．（用θ表示）

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