（2013•遼寧一模）已知O是銳角△ABC的外接圓圓心，∠A=θ，若
cosB
sinC
AB
+
cosC
sinB
AC
=2m
AO
，則m=
sinθ
sinθ
．（用θ表示）
分析：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，取AB的中點為D，根據(jù)平面向量的平行四邊形法則可得
AO
=
AD
+
DO
，代入已知的等式中，連接OD，可得
AD
⊥
AB
，可得其數(shù)量積為0，在化簡后的等式兩邊同時乘以
AB
，整理后利用向量模的計算法則及平面向量的數(shù)量積運算法則化簡，再利用正弦定理變形，并用三角函數(shù)表示出m，利用誘導(dǎo)公式及三角形的內(nèi)角和定理得到cosB=-cos（A+C），代入表示出的m式子中，再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，抵消合并約分后得到最簡結(jié)果，把∠A=θ代入即可用θ的三角函數(shù)表示出m．
解答：解：取AB中點D，則有
AO
=
AD
+
DO
，
代入
cosB
sinC
AB
+
cosC
sinB
AC
=2m
AO
得：
cosB
sinC
AB
+
cosC
sinB
AC
=2m(
AD
+
DO
)，
由
OD
⊥
AB
，得
DO
•
AB
=0，
∴兩邊同乘
AB
，化簡得：
cosB
sinC
AB
•
AB
+
cosC
sinB
AC
•
AB
=2m(
AD
+
DO
)•
AB
=m
AB
•
AB
，
即
cosB
sinC
c2+
cosC
sinB
bc•cosA=mc2，
由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
化簡得：
cosB
sinC
sin2C+
cosC
sinB
sinBsinCcosA=msin2C，
由sinC≠0，兩邊同時除以sinC得：cosB+cosAcosC=msinC，
∴m=
cosB+cosAcosC
sinC
=
-cos(A+C)+cosAcosC
sinC

=
-cosAcosC+sinAsinC+cosAcosC
sinC
=sinA，
又∠A=θ，
則m=sinθ．
故答案為：sinθ
點評：此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，三角形外接圓的性質(zhì)，利用兩向量的數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系，誘導(dǎo)公式，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
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2
．

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