Question

17．記max{m，n}表示m，n中的最大值，如max$\left\{{3，\sqrt{10}}\right\}=\sqrt{10}$．已知函數f（x）=max{x²-1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，-x²+（a²-$\frac{1}{2}$）x+2a²+4a}．
（1）設$h（x）=f（x）-3（{x-\frac{1}{2}}）{（{x-1}）^2}$，求函數h（x）在（0，1]上零點的個數；
（2）試探討是否存在實數a∈（-2，+∞），使得g（x）＜$\frac{3}{2}$x+4a對x∈（a+2，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用導數求出$h（x）=f（x）-3（{x-\frac{1}{2}}）{（{x-1}）^2}$的單調區(qū)間及最值，結合圖象即可判定；
（2）構造函數H（x）=g（x）-$\frac{3}{2}$x-4a，對該函數在∈（a+2，+∞）的最大值進行分類求解，只需最大值小于0即可．

解答 解：（1）設$F（x）={x^2}-1-2lnx，F'（x）=2x-\frac{2}{x}=\frac{{2（{x-1}）（{x+1}）}}{x}$，…（1分）
令F'（x）＞0，得x＞1，F（x）遞增；令F'（x）＜0，得0＜x＜1，F（x）遞減，…（2分）
∴F（x）_min=F（1）=0，∴F（x）≥0，即x²-1≥2lnx，∴f（x）=x²-1…（3分）
設$G（x）=3（{x-\frac{1}{2}}）{（{x-1}）^2}$，結合f（x）與G（x）在（0，1]上圖象可知，這兩個函數的圖象在（0，1]上有兩個交點，即h（x）在（0，1]上零點的個數為2…（5分）
（或由方程f（x）=G（x）在（0，1]上有兩根可得）
（2）假設存在實數a∈（-2，+∞），使得$g（x）＜\frac{3}{2}x+4a$對x∈（a+2，+∞）恒成立，
則$\left\{{\begin{array}{l}{x+lnx＜\frac{3}{2}x+4a}\\{-{x^2}+（{{a^2}-\frac{1}{2}}）x+2{a^2}+4a＜\frac{3}{2}x+4a}\end{array}}\right.$，對x∈（a+2，+∞）恒成立，
即$\left\{{\begin{array}{l}{lnx-\frac{1}{2}x＜4a}\\{（{x+2}）（{x-{a^2}}）＞0}\end{array}}\right.$，對x∈（a+2，+∞）恒成立，…（6分）
①設$H（x）=lnx-\frac{1}{2}x，H'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}=\frac{2-x}{2x}$，
令H'（x）＞0，得0＜x＜2，H（x）遞增；令H'（x）＜0，得x＞2，H（x）遞減，
∴H（x）_max=h（2）=ln2-1，
當0＜a+2＜2即-2＜a＜0時，4a＞ln2-1，∴$a＞\frac{ln2-1}{4}$，∵a＜0，∴4$a∈（{\frac{ln2-1}{4}，0}）$．
故當$a∈（{\frac{ln2-1}{4}，0}）$時，$lnx-\frac{1}{2}x＜4a$對x∈（a+2，+∞）恒成立，…（8分）
當a+2≥2即a≥0時，H（x）在（a+2，+∞）上遞減，∴$H（x）＜H（{a+2}）=ln（{a+2}）-\frac{1}{2}a-1$．
∵${（{ln（{a+2}）-\frac{1}{2}a-1}）^′}=\frac{1}{a+2}-\frac{1}{2}≤0$，∴H（a+2）≤H（0）=ln2-1＜0，
故當a≥0時，$lnx-\frac{1}{2}x＜4a$對x∈（a+2，+∞）恒成立…（10分）
②若（x+2）（x-a²）＞0對x∈（a+2，+∞）恒成立，則a+2≥a²，∴a∈[-1，2]…（11分）
由①及②得，$a∈（{\frac{ln2-1}{4}，2}]$．
故存在實數a∈（-2，+∞），使得$g（x）＜\frac{3}{2}x+4a$對x∈（a+2，+∞）恒成立，
且a的取值范圍為$（{\frac{ln2-1}{4}，2}]$…（12分）

點評 本題考查了函數的零點的個數判定，及函數不等式恒成立時，參數取值范圍的求解方法，屬于難題．