Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC=

π

4

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC的中點．
（1）求四棱錐O-ABCD的體積；
（2）證明：直線MN∥平面OCD．

Answer 1

分析：（1）由OA⊥底面ABCD，得OA為四棱錐O-ABCD的高，再求出底面菱形的面積，代入體積公式計算；
（2）取OB中點E，連接ME，NE，證明平面MNE∥平面OCD，再由面面平行得線面平行．

解答：解：（1）∵OA⊥底面ABCD，
∴OA為四棱錐O-ABCD的高，OA=2，
又底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC=

π

4

，
∴S_ABCD=1×1×

2

2

=

2

2

，
∴V_O-ABCD=

1

3

×

2

2

×2=

2

3

；
（2）取OB中點E，連接ME，NE，
∵ME∥AB，AB∥CD，
∴ME∥CD
又∵NE∥OC，ME∩NE=E，
∴平面MNE∥平面OCD，MN?平面MNE，
∴MN∥平面OCD

點評：本題考查了四棱錐的體積計算，考查了由面面平行證明線面平行，考查了學(xué)生的推理論證能力與運算能力．