Question

已知關于x的不等式k4^x-2^x+1+6k＜0，
（1）若不等式的解集為（1，log₂3），求實數(shù)k的值；
（2）若不等式對一切x∈（1，log₂3）都成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）若不等式的解集為（1，log₂3）的子集，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過換元，利用一元二次不等式的解集與相應的一元二次方程的實數(shù)根的關系即可求出；
（2）把此問題可以轉化為恒成立問題解決即可；
（3）把問題轉化為利用二次函數(shù)的圖象與性質研究一元二次不等式的解集即可解決．

解答：解：（1）關于x的不等式k4^x-2^x+1+6k＜0可以化為k（2^x）²-2×2^x+6k＜0，
令2^x=t，∵1＜x＜log₂3，∴2＜t＜3，則不等式可化為kt²-2t+6k＜0，
∵關于x的不等式k4^x-2^x+1+6k＜0的解集為（1，log₂3），
∴（2，3）是不等式kt²-2t+6k＜0的解集，
∴2，3是方程kt²-2t+6k=0的兩個實數(shù)根，且k＜0．
解得k=

2

5

；
（2）∵不等式對一切x∈（1，log₂3）都成立，
由（1）可知：即對于2＜t＜3，不等式kt²-2t+6k＜0恒成立，
等價于：k＜[

2t

t2+6

]min，t∈（2，3）．
令g(t)=

2t

t2+6

，t∈（2，3）．
則g′(t)=

-2(t2-6)

(t2+6)2

，令g^′（t）=0，解得t=

6

，
當2＜t＜

6

時，g^′（t）＞0，函數(shù)g（t）在(2，

6

)上單調遞增；
當

6

＜t＜3時，g^′（t）＜0，函數(shù)g（t）在(

6

，3)上單調遞減；
而函數(shù)g（t）在t=2，3處有意義，且g（2）=

2

5

，g（3）=

2

5

．
故k≤

2

5

；
（3）因為不等式的解集為（1，log₂3）的子集，
由（1）可知：即對于2＜t＜3，不等式kt²-2t+6k＜0的解集A⊆（2，3），
令f（t）=kt²-2t+6k，△=4-24k²，
則

k＞0 △≤0

，或

f(2)≥0，f(3)≥0 f( 1 k )＜0 2＜ 1 k ＜3

解得k≥

6

6

或

2

5

≤k＜

6

6

，
即k≥

2

5

．

點評：熟練掌握一元二次不等式的解法及“三個二次”之間的關系是解題的關鍵．