Question

已知關(guān)于x的不等式

k(1-x)

x-2

+1＜0的解集為空集，求實(shí)數(shù)k的取值或取值范圍．

Answer 1

分析：把原不等式進(jìn)行整理，得到分子和分母都是關(guān)于x的一次式，寫出不等式的等價(jià)形式，注意兩個(gè)根的大小關(guān)系，針對于大小關(guān)系分三種情況進(jìn)行討論，得到結(jié)果．

解答：解：原不等式化為

(1-k)x+k-2

x-2

＜0．
（1）若1-k＞0即k＜1時(shí)，不等式等價(jià)于（x-

2-k

1-k

）（x-2）＜0．
①若k＜0，不等式的解集為{x|

2-k

1-k

＜x＜2}．
②若k=0，不等式的解集為?
③若0＜k＜1，不等式的解集為{x|2＜x＜

2-k

1-k

}．
（2）若1-k＜0即k＞1時(shí)，不等式等價(jià)于（x-

2-k

1-k

）（x-2）＞0．
此時(shí)恒有2＞

2-k

1-k

，所以不等式解集為{x|x＜

2-k

1-k

，或x＞2}．
（3）若1-k=0即k=1時(shí)，不等式的解集為{x|x＞2}．
綜上可知當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)，不等式的解集為空集．

點(diǎn)評：本題考查分式不等式的解法，本題解題的關(guān)鍵是這對于不等式進(jìn)行等價(jià)變形，針對于兩個(gè)根的大小進(jìn)行討論，本題是一個(gè)易錯(cuò)題．