Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=xa_n，其中S_n是數(shù)列a_n的前n項和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式，用帶x式子表示；
（2）數(shù)列{b_n}中，b_n=

an

Sn

，求{b_n}通項公式，并探究b_n與b_n+1的大小關(guān)系．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）對x進行分類討論，利用等比數(shù)列的通項及求和公式，可得結(jié)論；
（2）對x進行分類討論，確定出b_n與b_n+1，即可比較大�。�

解答： 解：（1）若x=0，易知S_n=1；
若x≠0，則 ①當x=1時，數(shù)列{a_n}是常數(shù)數(shù)列，易知S_n=n；
②當x≠1時，數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為x的等比數(shù)列，易知：S_n=

1-xn

1-x

．
（2）若x=0，∵a_n=

1，n=1 0，n＞1

，∴b_n=

1，n=1 0，n＞1

，
則當n=1時，有b_n＞b_n+1；當n＞1時，b_n=b_n+1=0．
若x≠0，則：
①當x=1時，∵a_n=1，∴b_n=

1

n

，此時，總有b_n＞b_n+1．
②當x≠1時，∵an=xn-1，考慮x=-1時，S_n=

1，n為奇數(shù) 0，n為偶數(shù)

，
此時b_n=

(-1)n-1，n為奇數(shù) 無意義，n為偶數(shù)

，此時，不存在比較大小的問題．
故當x≠1且x≠-1時，有b_n=

xn-1(1-x)

1-xn

此時數(shù)列{b_n}的前幾項為1，

x

1+x

，

x2

1+x+x2

，…，
當x∈（0，1）∪（1，+∞）時，總有b_n＞b_n+1；
當x∈（-1，0）時，若n為奇數(shù)，有b_n＞b_n+1；若n為偶數(shù)，有b_n＜b_n+1；
當x∈（-∞，-1）時，若n為奇數(shù)，有b_n＜b_n+1；若n為偶數(shù)，有b_n＞b_n+1．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的通項與求和，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．