Question

已知點P在拋物線y²=4x上，那么點P到點Q（2，-1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和的最小值為

5

4

．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線方程求出焦點坐標和準線方程，再由拋物線的定義知：當P、Q和P在準線上的射影點A三點共線時，這個距離之和最小，由此求出此時點P的坐標，進而可得P到拋物線焦點距離之和的最小值．

解答：解：∵拋物線方程為y²=4x
∴2p=4，可得焦點為F（1，0），準線為x=-1
設P在拋物線準線l上的射影點為A點
則由拋物線的定義，可知當P、Q、A點三點共線時，
點P到拋物線焦點距離之和最小，如圖所示
∴點P的縱坐標為-1，代入拋物線方程，
可得（-1）²=4x，得x=

1

4

，所以此時P的坐標為（

1

4

，-1）
由此，可得這個距離之和為

1

4

+1=

5

4

故答案為：

5

4

點評：本題給出拋物線上的動點，求該點到定點Q和焦點F距離之和的最小值，著重考查了拋物線的定義和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．