Question

如圖，已知四棱臺(tái)ABCD-A₁B₁C₁D₁的側(cè)棱AA₁垂直于底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形A₁B₁C₁D₁是邊長(zhǎng)為1的正方形，DD₁=2．
（ I）求證：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁；
（Ⅱ）求四棱臺(tái)ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積；
（Ⅲ）求二面角B-C₁C-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到AC⊥BD，結(jié)合AA₁⊥BD，可得BD⊥平面A₁ACC₁．再用面面垂直的判定定理，證出平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁．
（II）過D₁作D₁H⊥AD于H，在直角梯形AA₁D₁D中算出D₁H=，從而四棱臺(tái)的高A₁A=，由此用棱臺(tái)的體積公式求出四棱臺(tái)ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積．
（III）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連接OC₁，過點(diǎn)B在平面B₁BCC₁內(nèi)作BM⊥C₁C于M，連接MD．利用線面垂直的性質(zhì)與判定，可證出C₁C⊥MD，從而∠BMD是二面角B-C₁C-D的平面角．然后在Rt△C₁OC中算出OM的長(zhǎng)，在Rt△BMO中算出BM的長(zhǎng)，同理得到DM的長(zhǎng)，最后在△BMD中用余弦定理，可得二面角B-C₁C-D的余弦值等于．
解答：解：（Ⅰ）∵AA₁⊥平面 ABCD，BD?平面 ABCD，∴AA₁⊥BD．
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵AA₁與AC是平面A₁ACC₁內(nèi)的兩條相交直線，
∴BD⊥平面A₁ACC₁．
∵BD?平面B₁BDD₁，
∴平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁． …（4分）
（Ⅱ）過D₁作D₁H⊥AD于H，則D₁H∥A₁A．
∵AA₁⊥平面 ABCD，∴D₁H⊥平面ABCD．
在Rt△D₁DH中，可得，從而A₁A=D₁H=，
∴四棱臺(tái)的體積為：．    …（8分）
（Ⅲ）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連接OC₁．
過點(diǎn)B在平面B₁BCC₁內(nèi)作BM⊥C₁C于M，連接MD．
由（Ⅰ）知BD⊥平面A₁ACC₁，
∵C₁C?平面A₁ACC₁，∴BD⊥C₁C．
又∵BM⊥C₁C，BM、BD是平面BMD內(nèi)的相交直線，
∴C₁C⊥平面BMD，
∵M(jìn)D?平面BMD，∴C₁C⊥MD．
∴∠BMD是二面角B-C₁C-D的平面角．
在Rt△C₁OC中，可得，從而得到．
在Rt△BMO中，可得，同理可求得．
在△BMD中，由余弦定理得：．
即二面角B-C₁C-D的余弦值等于…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)特殊四棱臺(tái)，叫我們證明面面垂直，求臺(tái)體的體積并求二面角的大小，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、棱臺(tái)的體積公式和二面角平面角的作法等知識(shí)，屬于中檔題．