如圖，已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱A1A垂直于底面AB-CD，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形A1B1C1D1是邊長為1的正方形，DD1=2．
（1）求證：平面A1ACC1丄平面B1BDD1
（2）求四棱錐A-CDD1C1的體積．

解：（1）∵AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD，即BD⊥AA1，
又底面ABCD為正方形，∴BD⊥AC，
∵AC∩AA1=A，AC?平面A1ACC1，AA1?平面A1ACC1，
∴BD⊥平面A1ACC1．而BD?平面B1BDC1，
∴平面A1ACC1⊥平面B1BDD1．
（2）過點A作AH⊥DD1，交DD1于點H．
∵AA1⊥平面ABCD，∴平面A1ADD1⊥平面ABCD．
又平面CDD1C1∩平面ABCD=AD，CD⊥AD．
∴CD⊥平面A1ADD1，∵平面CDD1C1∩平面A1ADD1=DD1．
∴AH⊥平面CDD1C1．在直角梯形A1ADD1中，A1D1=1，D1D=2．AD=2．
∴AH=．∵CD⊥平面A1ADD1．CD⊥DD1．∴四邊形CDD1C1為直角梯形，
∵C1D1=1．CD=D1D=2．∴四邊形CDD1C1的面積S=3．
∴四棱錐A-CDD1C1的體積．
分析：（1）先證明BD⊥AC，然后證明BD⊥平面A1ACC1．即可證明平面A1ACC1⊥平面B1BDD1．
（2）過點A作AH⊥DD1，交DD1于點H．證明CD⊥平面A1ADD1，判斷四邊形CDD1C1為直角梯形，然后求出四棱錐A-CDD1C1的體積．
點評：本題考查直線與平面垂直，平面與平面垂直，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力，計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）如圖，已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱A1A垂直于底面AB-CD，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形A1B1C1D1是邊長為1的正方形，DD1=2．
（1）求證：平面A1ACC1丄平面B1BDD1
（2）求四棱錐A-CDD1C1的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：閱讀理解

（必做題）先閱讀：如圖，設梯形ABCD的上、下底邊的長分別是a，b（a＜b），高為h，求梯形的面積．
方法一：延長DA、CB交于點O，過點O作CD的垂線分別交AB、CD于E、F，則EF=h．
設OE=x，∵△OAB∽△ODC，∴
x
x+h
=
a
b
，即x=
ah
b-a
．
∴S梯形ABCD=S△ODC-S△OAB=
1
2
b（x+h）-
1
2
ax=
1
2
（b-a）x+
1
2
bh=
1
2
（a+b）h．
方法二：作AB的平行線MN分別交AD、BC于MN，過點A作BC的平行線AQ分別于MN、DC于PQ，則△AMP∽△ADQ．
設梯形AMNB的高為x，MN=y，
x
h
=
y-a
b-a
⇒y=a+
b-a
h
x，∴S梯形ABCD=
∫
h
0
（a+
b-a
h
x）dx=（ax+
b-a
2h
x2）
|
h
0
=ah+
b-a
2h
•h2=
1
2
（a+b）h．
再解下面的問題：
已知四棱臺ABCD-A′B′C′D′的上、下底面的面積分別是S1，S2（S1＜S2），棱臺的高為h，類比以上兩種方法，分別求出棱臺的體積（棱錐的體積=
1
3
×底面積×高）．

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科目：高中數(shù)學 來源：安徽省模擬題 題型：解答題

如圖，已知四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1的側(cè)棱A1A垂直于底面AB﹣CD，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形A1B1C1D1是邊長為1的正方形，DD1=2．
（1）求證：平面A1ACC1丄平面B1BDD1
（2）求四棱錐A﹣CDD1C1的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年安徽省皖南八校高三第三次聯(lián)考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱A1A垂直于底面AB-CD，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形A1B1C1D1是邊長為1的正方形，DD1=2．
（1）求證：平面A1ACC1丄平面B1BDD1
（2）求四棱錐A-CDD1C1的體積．

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